Question

De cada vértice de um polígono partem 9 diagonais. Quantos lados e quantas diagonais esse polígono possui respectivamente?

Answer 1

Sabemos que de cada vértice partem 9 diagonais. Mas, tendo em vista que cada diagonal que parte de um vértice tem sua extremidade em algum outro vértice, podemos dizer que, ao multiplicar a quantidade de diagonais que partem em cada vértice pela quantidade de vértices(v) do polígono, encontraremos o dobro do número de diagonais:

9v = 2d

Sabendo que v=n, sendo n a quantidade de lados do polígono, podemos escrever a fórmula que relaciona  diagonal e lado como:

d = v(v-3)/2

Substituindo na primeira fórmula:

9v = 2[v(v-3)/2]

9v = v(v-3)

9v = v² -3v

0 = v² - 12v

0 = v(v-12)

v = 12

Logo, sabemos que há 12 vértices e consequentemente, 12 lados

Substituindo:

9v = 2d

9.12 = 2d

d = 54 diagonais

Bons estudos!