Question

O triangulo da figura (ABC) é isósceles de base BC e o segmento AM é sua mediana. Demonstre que AM é também bissetriz e altura desse triângulo,ou seja, demonstre a seguinte propriedade:

Em todo triangulo isósceles, a medidana relativa á base é também bissetriz e altura.

Answer 1

De fato: seja os triângulos ABM e ACM: (≡ → congruente)

▲ABM......................▲ACM
...AB...........≡................AC.........(lados de um triangulo isósceles)
....B............≡..................C..........(ângulos da base são congruentes)
....BM.........≡.................CM.........(por hipótese, BM ≡ CM) 

Sendo os ▲ABM e ▲ACM são congruentes pelo caso (LAL). 

Daí temos: 
1) O angulo BAM ≡ CAM → ▲ABM ≡ ▲ACM  conforme mostramos acima.
Logo, AM é bissetriz do ângulo A.

2) Mostrar que AM é altura de ▲ABC
med(BMA) = med(CMA) = ω → pois ▲ABM ≡ ▲ACM  conforme mostramos med(BAM) = med(CAM) = α → pela mesma razão acima
med(MBA) = med(MCA) = β → pois ▲ABM ≡ ▲ACM  conforme mostramos 

Ora, ω + ω = 2ω = 180º,  um ângulo raso. Então 2ω = 180º ⇔ ω = 90º

Conclusão: med(BMA) = med(CMA) = ω = 90º  e isso implica que AM é perpendicular ao do BC. Portanto, AM é altura de ▲ABC

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Obrigado pela oportunidade. 
Boa sorte, bons estudos.
SSRC - 2015 
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