Question

— Quantos são os arranjos de 8 elementos, tomados 3 a 3?

2 — Calcule o valor de cada arranjo:

a) A5,2 =

b) A6,4 =

c) A10,8 =

d) A15,3 =

3 — Vinte equipes disputam o Campeonato Mineiro de Futebol. Quantas são as possibilidades de

classificação nos dois primeiros lugares (campeão e vice-campeão)?

4 — Com as letras da palavra FUTEBOL, quantas “palavras” distintas formadas de 4 letras distintas

podemos escrever? (As “palavras” não precisam ter sentido na linguagem comum).

5 — Um número de telefone celular é formado por 9 algarismos. Determine quantos números de tele-

fone podemos formar com algarismos diferentes, que comecem com 9 e terminem com 7.

Dica: O número 9 deve ser fixado na 1ª posição e o 7 na última. Restaram, portanto, 7 posições

e 8 algarismos, pois eles precisam ser diferentes. Considerando que a ordem dos algarismos

diferencie dois números de telefone, vamos arranjar 8 algarismos 7 a 7.​

Answer 1

Resposta:

(1)

An,p = n!/(n-p)! = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8*7*6= 336

(2)

a)$A_{5,2}$

A 5,2 = 5!/(5-2)!

A 5,2 = 5!/3!

A 5,2 = 5.4.3!/3!

A5,2 = 20

b)$A_{6,4}$

A 6,4 = 6!/(6-4)!

A 6,4= 6!/2!

A6,4 = 6.5.4.3.2!/2!

A 6,4 = 30.12

A 6,4 = 360

c) $A_{10,8}$

A 10,8 = 10!/(10-8)!

A 10,8 = 10!/2!

A 10,8 = 10.9.8.7.6.5.4.3.2!/2!

A 10,8 = 10.72.42.60

A 10,8 = 720. 2520

A 10,8 = 1814400

d)$A_{15,3}$

A 15,3 = 15!/(15-3)!

A 15,3 = 15.14.13.12! / 12!

A 15,3 = 2730

(3)

20.19 = 380

(4)

7.6.5.4 = 840

(5)

$A_{9,7} =$ $\frac{9!}{(9-8)} \to\frac{9!}{1!} \to 9.8.7.6.5.4.3.2=362880$

Answer 2

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A Combinatória, em matemática, é a área dedicada ao estudo de métodos e técnicas que possibilitam resolver problemas relacionados com contagem. Entre os problemas clássicos presentes, estão os que envolvem permutações, arranjos e combinações.

Com a finalidade de de analisar cada questão proposta, a resolução será dada em etapas.

(1)

  Arranjo é um tipo de agrupamento em que os grupos formados além de se diferenciam pela natureza dos seus elementos, também se diferenciam pela ordem. Para calcular quantos são os subconjuntos de k elementos dentre um grupo de n elementos onde a ordem importa, fazemos:

$A_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Com isso, como $k=3$ e $n = 8$,

$A_{3}^{8}=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}=\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 336$

Logo, são 336 arranjos.

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(2)

  a) $A_{5,2}$

     Para tal, basta aplicar diretamente a fórmula:

   

   $A_{2}^{5}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 20$

   b) $A_{6,4}$

   

   $A_{4}^{6}=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6!}{2!}=\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 360$

   a) $A_{10,8}$

   

   $A_{8}^{10}=\frac{10!}{(10-8)!}=\frac{10!}{2!}=\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 1814400$

  d) $A_{15,3}$

   

   $A_{3}^{15}=\frac{15!}{(15-3)!}=\frac{15!}{12!}=\frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!} = 2730$

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(3)

   O problema em questão também envolve as ideias de arranjo. Note que procuramos o número de subconjuntos de 2 elementos de um conjunto de 24 elementos, onde a ordem importa (campeão e vice-campeão).

Fazendo as contas:

   $A_{2}^{24}=\frac{24!}{(24-2)!}=\frac{24!}{22!}=\frac{24 \cdot 23 \cdot 22!}{22!} = 552$

Logo, são 552 as possibilidades de  classificação nos dois primeiros lugares.

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(4)

  Também, temos aqui um problema que envolve as ideias de arranjo. Observe que, agora, procuramos o número de subconjuntos de 4 elementos (4 letras) de um conjunto de 7 elementos (Número de letras da palavra FUTEBOL), onde a ordem importa.

Assim,

$A_{4}^{7}=\frac{7!}{(7-4)!}=\frac{7!}{3!}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 840$

Com isso, o número de palavras distintas formadas de 4 letras distintas  que podemos escrever é 840.

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(5)

 Tal questão também traz as ideias de arranjo. Observe que, assim como nas questões anteriores, procuramos o número de maneiras de arranjar $k$ elementos (agora são números) entre um total de $n$ possíveis.

Aproveitando a dica,  o número 9 deve ser fixado na 1ª posição e o 7 na última, restando, assim, 7 posições  e 8 algarismos (considerando que eles precisem ser diferentes).

Fazendo as contas:

$A_{7}^{8}=\frac{8!}{(8-7)!}=\frac{8!}{1!}=8! = 40320$

Logo, são 40320 números nessa configuração.

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