Question

Enunciado em anexo

(A) Esboce os gráficos de f e g.

(B) Decida sobre a existência dos limites $\lim f(x) \\ x \to1}$ e $\lim g(x) \\ x \to1}$

(C) Dê a expressão de h(x) = $f(x)g(x)$ e verifique se existe $\lim h(x) \\ x \to 1$

Answer 1

Se g(x) = f(x) + c (c é uma constante positiva), então o gráfico de g(x) é igual ao gráfico de f(x) deslocado em c unidades para cima
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a)

Gráfico de f:

Para x menor ou igual a 1, o gráfico de f é dado pela função x² + 3, que é uma parábola. O gráfico de x² + 3 é igual ao gráfico de x² deslocado em 3 unidades para cima

Para x maior que 1, o gráfico de f é dado pela função x + 1, que é uma reta. O gráfico de x + 1 é igual ao grafico de x deslocado em 1 unidade para cima (ou para a direita, ou para a esquerda)

Veja que f(1) = 1² + 3 = 4
Se f(x) fosse x + 1 para x igual a 1, f(1) = 2

Veja o gráfico em anexo

Gráfico de g:

Para x menor ou igual a 1, o gráfico de g é dado por x², uma parábola com vértice na origem (a parábola mais simples).

Para x maior que 1, o gráfico de g é dado por 2, uma reta paralela ao eixo x

g(1) = 1² = 1

Veja o gráfico em anexo

b)

Para que os limites existam, os limites laterais devem existir e serem iguais.

Avaliando o limite de f(x) quando x tende a 1:

Se x tende a 1 pela esquerda, x é menor que 1, portanto, f(x) respeita a lei x² + 3

Portanto:

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}(x^{2}+3)=1^{2}+3=4$

(Percebemos isso com o gráfico)

Se x tende a 1 pela direita, x é maior que 1, com isso, f(x) respeita a lei x + 1.

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}(x+1)=1+1=2$

Que também podemos perceber com o gráfico.

Como os limites laterais são diferentes, o limite de f(x) quando x tende a 1 não existe.

Avaliando o limite de g(x) quando x tende a 1:

Olhando pro gráfico, também percebemos que o limite não existe. Mas:

Se x tende a 1 pela esquerda, x é menor que 1, portanto g(x) = x²

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}x^{2}=1^{2}=1$

Se x tende a 1 pela direita, x é maior que 1, logo g(x) = 2

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}2=2$

Os limites laterais são diferentes, portanto o limite de g(x) quando x tende a 1 não existe

c)

Vamos achar a lei de h(x)

$h(x)=f(x)g(x)$

Para x menor ou igual a 1, f(x) = x² + 3 e g(x) = x². Logo:

$h(x)=(x^{2}+3)x^{2}$

Para x maior que 1, f(x) = x + 1 e g(x) = 2. Logo:

$h(x)=f(x)g(x)=(x+1)\cdot2=2x+2$

Então:

$h(x)=\begin{cases}(x^{2}+3)x^{2},~~se~x\le1\\2x+2,~~~~~~~se~x~\textgreater~1\end{cases}$

Avaliando os limites laterais:

Se x tende a 1 pela esquerda, x é menor que 1, então h(x) = (x² + 3)x²

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}(x^{2}+3)x^{2}=\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}(x^{2}+3)\cdot\lim\limits_{x\rightarrow1^{-}}x^{2}=4\cdot1=4$

Se x tende a 1 pela direita, x é maior que 1, logo h(x) = 2x + 2

$\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow1^{+}}(2x+2)=2\cdot1+2=2+2=4$

Como os limites laterais existem e são iguais, o limite existe e é igual a 4:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow1}h(x)=4}}$