Question

Alguém pode me ajudar na letra B? (Espm 2017 - adaptada) O lucro de uma pequena empresa é dado por uma função quadrática cujo gráfico está representado na figura abaixo: a) Determine o lucro máximo da empresa. (resposta 1350,00) b) Quantas unidades devem ser vendidas para que o lucro seja R$ 750,00?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $L(x)=ax^2+bx+c$

Temos que:

$L(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c$

$L(0)=0+0+c$

E pelo gráfico, $L(0)=0$

Assim, $c=0$

Além disso:

$\bullet~~L(10)=10^2\cdot a+10\cdot b$

$L(10)=100a+10b$

$100a+10b=1200$

$10a+b=120$

$\bullet~~L(20)=20^2\cdot a+20\cdot b$

$L(20)=400a+20b$

$400a+20b=1200$

$20a+b=60$

Podemos montar o sistema:

$\begin{cases} 10a+b=120 \\ 20a+b=60 \end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por $-1$:

$\begin{cases} 10a+b=120~~\cdot(-1)\\ 20a+b=60 \end{cases}~\longrightarrow~\begin{cases} -10a-b=-120 \\ 20a+b=60 \end{cases}$

Somando as equações membro a membro:

$-10a+20a-b+b=-120+60$

$10a=-60$

$a=\dfrac{-60}{10}$

$a=-6$

Substituindo na primeira equação:

$10\cdot(-6)+b=120$

$-60+b=120$

$b=120+60$

$b=180$

Logo, $L(x)=-6x^2+180x$

O lucro máximo é $y_V$

$y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\Delta=180^2-4\cdot(-6)\cdot0$

$\Delta=32400+0$

$\Delta=32400$

$y_V=\dfrac{-32400}{4\cdot(-6)}$

$y_V=\dfrac{-32400}{-24}$

$y_V=1350$

b) $L(x)=750$

$-6x^2+180x=750$

$6x^2-180x+750=0$

$x^2-30x+125=0$

$\Delta=30^2-4\cdot1\cdot125$

$\Delta=900-500$

$\Delta=400$

$x=\dfrac{-(-30)\pm\sqrt{400}}{2\cdot1}=\dfrac{30\pm20}{2}$

$x'=\dfrac{30+20}{2}~\longrightarrow~x'=\dfrac{50}{2}~\longrightarrow~x'=25$ (não serve)

$x"=\dfrac{30-20}{2}~\longrightarrow~x"=\dfrac{10}{2}~\longrightarrow~x"=5$

Devem ser vendidas 5 unidades