Question

Calcule as derivadas abaixo.

1) y = tg³x

2) y = √(sen5x + 1)​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) $\sf y=\text{tg}^3~(x)$

$\sf y=\text{tg}~(x)\cdot\text{tg}~(x)\cdot\text{tg}~(x)$

$\sf y'=[\text{tg}~(x)\cdot\text{tg}~(x)\cdot\text{tg}~(x)]'$

$\sf y'=[\text{tg}~(x)]'\cdot\text{tg}^2~(x)+[\text{tg}~(x)]'\cdot\text{tg}^2~(x)+[\text{tg}~(x)]'\cdot\text{tg}^2~(x)$

$\sf y'=\text{sec}^2~(x)\cdot\text{tg}^2~(x)+\text{sec}^2~(x)\cdot\text{tg}^2~(x)+\text{sec}^2~(x)\cdot\text{tg}^2~(x)$

$\sf y'=3\cdot\text{sec}^2~(x)\cdot\text{tg}^2~(x)$

2) $y=\sqrt{\text{sen}~(5x)+1}$

$\sf y=[\text{sen}~(5x)+1]^{\frac{1}{2}}$

$\sf \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot[\text{sen}~(5x)+1]'\cdot[\text{sen}~(5x)+1]^{\frac{1}{2}-1}$

$\sf \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot\text{cos}~(5x)\cdot[\text{sen}~(5x)+1]^{\frac{-1}{2}}$

$\sf \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{5\cdot\text{cos}~(5x)}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\text{sen}~(5x)+1}}$

$\sf \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{5\cdot\text{cos}~(5x)}{2\cdot\sqrt{\text{sen}~(5x)+1}}$

Answer 2

1) y' = 3 sec²x tg²x

2)

$\frac{5}{2} \times \frac{cos(5x)}{ \sqrt{sen(5x) + 1} }$

• Para resolver o exercício, é preciso conhecer a regra do tombamento e a regra da derivada do produto de 3 funções (anexada)

Regra do tombamento

Se eu tenho uma função:

f(x) = xⁿ

A sua derivada será:

$f'(x) = n \times {x}^{n - 1}$

Primeira questão

• y = tg³x
• Note que tg³x é o mesmo que tgx × tgx × tgx.
• Logo:

y = tgx × tgx × tgx

• Temos o produto de 3 funções. Nesse caso, aplicamos a regra, sendo que:

u = tgx

v = tgx

w = tgx

• Aplicando:

y' = (tgx)' × tgx × tgx + tgx × (tgx)' × tgx + tgx × tgx × (tgx)'

• Lembre:
• derivada de tg(x) = sec²x

y' = sec²x × tg²x + tg²x × sec²x + tg²x × sec²x

y' = 3 sec²x tg²x

Segunda questão

• Vamos, primeiramente, escrever essa raiz como potência.

$y = {(sen(5x) + 1)}^{ \frac{1}{2} }$

• Inicialmente, aplicaremos a regra do tombamento e também a regra da cadeia:

$y' = \frac{1}{2} \times {(sen(5x) + 1)}^{ \frac{1}{2} - 1} \times (sen(5x) + 1)'$

• Lembrando: a derivada de uma constante vale 0.

$y' = \frac{1}{2} \times {(sen(5x) + 1)}^{ \frac{ - 1}{2} } \times 5cos(5x)$

Lembrando:

• derivada de sen(5x): a derivada do seno é cosseno. Como dentro temos 5x, aplica a regra da cadeia de novo → (sen(5x)' = cos(5x) × (5x)' = cos(5x) × 5
• Quando temos uma potência com expoente negativo, invertemos a fração
• $\frac{5}{2} \times \frac{1}{ {(sen(5x) + 1)}^{ \frac{1}{2} } } \times cos(5x)$
• Transformando em raiz:

$\frac{5}{2} \times \frac{1}{ \sqrt{sen(5x) + 1} } \times cos(5x) =$

$\frac{5}{2} \times \frac{cos(5x)}{ \sqrt{sen(5x) + 1} }$