Question

Uma máquina realiza uma atividade de produção descrita pela seguinte função.

Determine a função que representa a taxa de variação da produção dessa máquina.

$f(x) = 5 \sqrt{x} + 2 \sqrt[4]{x} + x$
​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf f(x)=5\sqrt{x}+2\cdot\sqrt[4]{x}+x$

$\sf f(x)=5\cdot x^{\frac{1}{2}}+2\cdot x^{\frac{1}{4}}+x$

$\sf f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot x^{\frac{1}{2}-1}+\dfrac{1}{4}\cdot2\cdot x^{\frac{1}{4}-1}+1$

$\sf f'(x)=\dfrac{5}{2}\cdot x^{\frac{-1}{2}}+\dfrac{2}{4}\cdot x^{\frac{-3}{4}}+1$

$\sf f'(x)=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}}+1$

$\sf f'(x)=\dfrac{5}{2\cdot\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\cdot\sqrt[4]{x^3}}+1$

Answer 2

Derivada da potência

Se u é uma função de x então

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dx}(u^n)=nu^{n-1}.\dfrac{du}{dx}}}}}}}$

Derivada da função da identidade

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{d}{dx}(x)=1}}}}}$

Potência de expoente racional

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}}}}}}$

$\dotfilll$

$\mathsf{f(x)=5\sqrt{x}+2\sqrt[4]{x}+x}$

Vamos escrever os radicais em potência de expoente racional e em seguida aplicar a derivada da potência.

$\mathsf{f(x)=5x^{\frac{1}{2}}+2x^{\frac{1}{4}}+x}$

$\mathsf{f'(x)=5.\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}+2.\dfrac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}+1}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{f'(x)=\dfrac{5}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}+1}}}$