Question

Se r e s são raízes da equação ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 , o valor de r4 + r2 s2 + s4 é: a) (a2+b2) c2 b) (a2+b2-c2)b2 c) (b2-c2)(b2-3c2) a2 d) (b2-ac)(b2-3ac) a4

Answer 1

Questão de função do segundo grau!

• Vamos analisar a expressão dada:

$r^4+r^2\cdot s^2+s^4$

Podemos reescrever  $r^2\cdot s^2$ como  $2( r^2\cdot s^2) - r^2\cdot s^2$.

$r^4 + 2( r^2\cdot s^2) +s^4 -r^2\cdot s^2$

Temos um produto notável, o quadrado da soma:

$r^4 + 2( r^2\cdot s^2) +s^4 -r^2\cdot s^2\\\\(r^2+s^2)^2 - (r\cdot s)^2\\\\(r^2+s^2+0)^2 - (r\cdot s)^2\\\\(r^2+s^2+2rs-2rs)^2 - (r\cdot s)^2\\\\((r+s)^2 -2r\cdot s)^2 -(r\cdot s)^2$

Sabemos que a soma e o produto das raízes de uma equação são iguais a:

$S = \dfrac{-b}{a}\\\\\\r+s = -\dfrac{b}{a}\\\\\\P = \dfrac{c}{a}\\\\\\r\cdot s = \dfrac{c}{a}$

Substituindo:

$((r+s)^2 -2r\cdot s)^2 -(r\cdot s)^2\\\\((\dfrac{-b}{a})^2 -\dfrac{2c}{a})^2 -(\dfrac{c}{a})^2\\\\(\dfrac{b^2}{a^2} -\dfrac{2c}{a})^2 -(\dfrac{c}{a})^2\\\\\\\dfrac{b^4}{a^4} -\dfrac{4b^2c}{a^3}+\dfrac{4c^2}{a^2}-\dfrac{c^2}{a^2}\\\\\\\dfrac{1}{a^2}\cdot(\dfrac{b^4}{a^2}-\dfrac{4b^2c}{a}+3c^2)\\\\\\\dfrac{1}{a^4}\cdot(b^4-4ab^2c+3a^2c^2)\\\\\\\dfrac{1}{a^4}\cdot(b^4-ab^2c-3ab^2c+3a^2c^2)\\\\\\\dfrac{1}{a^4}\cdot(b^2(b^2-ac)-3ac(b^2-ac))$

$\boxed{\dfrac{1}{a^4}\cdot(b^2-3ac)(b^2-ac)}$

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