Question

Calcule o nono termo da P.G ( 1/32,1/16,1/8, ...)

8) Numa P.G de oito termos o último vale 1024√2 e a razão 2√2. Calcule o primeiro termo

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Answer 1

Resposta:

(Primeira Questão) a₉ = 8

(Segunda Questão) a₁ = 1

Explicação passo-a-passo:

(Primeira Questão) O primeiro termo da PG (a₁) é 1/32. A razão (q) dela pode ser calculada a partir da divisão de um termo pelo seu antecessor. Tomando-se os dois primeiros termos:

$q = \dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{1/16}{1/32}=\dfrac{32}{16}\Longrightarrow\boxed{q = 2}$

Usando a fórmula do termo geral da PG, podemos calcular o nono termo:

$a_n = a_1\cdot q^{n-1}\\\\a_9 =\dfrac{1}{32}\cdot 2^{9-1}\\\\a_9 =\dfrac{1}{2^5}\cdot 2^{8}=2^{8-5}=2^3\\\\\boxed{a_9 = 8}$

(Segunda Questão) O último termo de uma PG de oito termos é o oitavo termo. Logo, a₈ = 1024√2. Além disso, o enunciado diz que q = 2√2. Usando a fórmula do termo geral da PG:

$a_n = a_1\cdot q^{n-1}\\\\a_8 = a_1\cdot q^{8-1}\\\\a_8 = a_1\cdot q^{7}\\\\1024\sqrt2 = a_1\cdot (2\sqrt2)^{7}\\\\1024\sqrt2 = a_1\cdot 2^7\cdot (\sqrt2)^{7}$

Usando que $1024 = 2^{10}$ e que $\sqrt2 = 2^{\frac{1}{2}}$:

$a_1 = \dfrac{1024\sqrt2}{2^7\cdot (\sqrt2)^{7}}\\\\a_1 = \dfrac{2^{10}\cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^7\cdot (2^{\frac{1}{2}})^{7}} = \dfrac{2^{10+\frac{1}{2}}}{2^7\cdot 2^{\frac{7}{2}}}\\\\a_1 = \dfrac{2^{10+\frac{1}{2}}}{2^{7+\frac{7}{2}}} = \dfrac{2^{\frac{21}{2}}}{2^{\frac{21}{2}}}\\\\\boxed{a_1=1}$