Question

Quantos divisores positivos tem o maior inteiro menor que 3^2010 + 2^2010 ÷ 3^2008 + 2^2008

Answer 1

Resposta:

Se for  (3^2010 + 2^2010) / (3^2008 + 2^2008  )

(3²*3^2008 +2²* 2^2008) / (3^2008 + 2^2008  )

=(9*3^2008 +4* 2^2008) / (3^2008 + 2^2008  )

=9*3^2008 / (3^2008 + 2^2008  )  + 4* 2^2008/ (3^2008 + 2^2008  )

*** 4* 2^2008/ (3^2008 + 2^2008  ) é muito pequeno, podemos desprezar

*** 4/ (3^2008 +1  ) é muito pequeno, podemos desprezar

9*3^2008 / (3^2008 + 2^2008  )

=

9 / (1 + 2^2008/3^2008  )

** 2^2008/3^2008 é muito pequeno , mas não podemos desprezar, na divisão de 9 por um número 1 + alguma coisa muito pequena vai fazer diferença , vou chamar 2^2008/3^2008 de x

=9/(1+x) ≅ 8,9999999999...999  ...não é uma dizima

menor número inteiro é 8 =2³

some 1 ao expoente = 4 divisores

1,2,4,8 são os divisores positivos , portanto são quatro é a resposta

Answer 2

Seja:

$x = \dfrac{3^{2010} + 2^{2010}}{3^{2008} + 2^{2008}}$

Queremos mostrar que 8 < x < 9.  Primeiro observamos que

• $3^{2010} = 9\cdot 3^{2008}$

• $2^{2010} = 4\cdot 2^{2008} = (9-5)2^{2008}= 9\cdot 2^{2008} - 5\cdot 2^{2008}$

Logo:

$x = \dfrac{9 \cdot 3^{2008} + 4 \cdot 2^{2008}}{3^{2008} + 2^{2008}} = \dfrac{9 \cdot 3^{2008} + 9 \cdot 2^{2008} - 5 \cdot 2^{2008}}{3^{2008} + 2^{2008}} \\\\\\= \dfrac{9 \left ( 3^{2008} + 2^{2008} \right) - 5 \cdot 2^{2008}}{3^{2008} + 2^{2008}} = 9 - \dfrac{5\cdot 2^{2008}}{3^{2008} + 2^{2008}}$

Temos então que x < 9. Para concluirmos que x > 8 vamos provar que :$\dfrac{5 \cdot 2^{2008}}{3^ {2008} + 2^{2008}} < 1$.

Observe que:

$\left( \dfrac{3}{2}\right)^{2008} > \left( \dfrac 32 \right)^4 = \dfrac{81}{16} > \dfrac{80}{16} = 5$

Assim:

$3^{2008} > 5 \cdot 2^{2008} \implies 3^{2008}+ 2^{2008} > 5 \cdot 2^{2008} \implies \dfrac{5 \cdot 2^{2008}}{3^{2008} + 2^{2008}} < 1$

Portanto x > 8.

Concluimos que x é um número entre 8 e 9, logo o menor inteiro é 8.

8 = 2³

3+1 = 4

Ele possui 4 divisores: {1,2,4,8}

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