Question

Para se calcular o tempo t necessário para
assegurar um montante M na aplicação de um capital
C à taxa de juros compostos i, pode-se utilizar a
seguinte igualdade:
M-C. (1+i)
Essa igualdade também pode ser representada da
seguinte forma:
1 - 11+
쁨
С
M
log
( ) - 10g (1 +)*
Utilizando-se 0,30 para log 2 e 0,48 para log 3, pode-
se concluir que o valor de t, necessário para assegurar
um montante de R$ 16.000,00, à taxa de juros com-
postos de 20% ao ano, na aplicação de um capital de
R$ 4.000,00, é de, no mínimo,
A)70 meses.
B)75 meses
C)80 meses.
D)85 meses
E)90 meses

Answer 1

Alternativa E: o período da aplicação deve ser 90 meses.

Esta questão está relacionada com juros compostos. Os juros compostos possuem a característica de aumentarem durante o tempo. O montante final de operações envolvendo juros compostos pode ser calculado por meio da seguinte equação:

$M=C(1+i)^t$

Onde:

M: montante final retirado;

C: capital inicial investido;

i: taxa de juros do período;

t: número de períodos.

Note que a taxa de juros e o período devem estar sobre mesma unidade de tempo para que os cálculos sejam corretos. Dessa maneira, temos o seguinte:

$16.000,00=4.000,00(1+0,20)^{t} \\ \\ 4=1,20^t \\ \\ log(4)=log(\frac{12}{10})^t \\ \\ log(2\times 2)=t\times log(2\times 2\times 3)-log(10) \\ \\ log(2)+log(2)=t\times [log(2)+log(2)+log(3)-log(10)] \\ \\ 0,30+0,30=t\times (0,30+0,30+0,48-1) \\ \\ 0,60=0,08t \rightarrow t=7,5 \ anos=90 \ meses$

Answer 2

O montante em juros compostos, como falado no enunciado, pode ser calculado pela seguinte fórmula.

$M = C(1 + i)^t$

Onde:

M = montante (valor total a receber após o empréstimo do dinheiro)

C = capital investido / dinheiro emprestado

i = taxa (a % cobrada pelo aluguel)

t = tempo de aplicação (tempo em que o dinheiro ficou emprestado)

Colocando os dados do seu exercício:

$16000 = 4000(1+0,2)^t\\\\4 = (1,2)^t\\\\log \ 4 = log \ 1,2^t\\\\\log \ 2^2 = t.log\ 1,2\\\\2.log\ 2 = t.log\ \dfrac{12}{10}\\\\2.log \ 2 = t (log \ 12 - log \ 10)\\\\ 2.log \ 2 = t (log \ 2^2.3 - log \ 10)\\\\ 2.log \ 2 = t (2.log \ 2 + log \ 3 - log \ 10)\\\\2.(0,3) = t(2.(0,3) + 0,48 - 1)\\\\0,6 = 0,08t\\\\t = 7,5$

A aplicação demorará 7,5 anos. Como as alternativas estão em meses, para transformar, multiplicamos este número por 12:

7,5 x 12 = 90 meses.

Entenda Juros Compostos:

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