Question

Dada a fatoração, determine o binômio que o gerou: a) (3m — 10n)(9m2 + 30mn + 100n2 ) b) (9x + 8)(9x — 8) c) (13z + 11w)(169z2 — 143zw + 121w2 ) d) (7b2 — 1)(49b8 + 7b4 + 1) e) (5a3 — 4b)(25a6 + 20a3 b + 16b2 ) f) (15x3 — 4y2 )(15x3 + 4y2)

Answer 1

O binômio que o gerou é: a) 27m³ - 1000n³; b) 81x² - 64; c) 2197z³ + 1331w³; d) 343b¹² - 1; e) 125a⁹ - 64b³; f) 225x⁶ - 16y⁴.

a) (3m - 10n)(9m² + 30mn + 100n²)

Aplicando a distributiva, obtemos:

(3m - 10n)(9m² + 30mn + 100n²) = 3m.9m² + 3m.30mn + 3m.100n² - 10n.9m² - 10n.30mn - 10n.100n²

(3m - 10n)(9m² + 30mn + 100n²) = 27m³ + 90m²n + 300mn² - 90nm² - 300mn² - 1000n³

(3m - 10n)(9m² + 30mn + 100n²) = 27m³ - 1000n³.

b) (9x + 8)(9x - 8)

Aplicando a distributividade, obtemos:

(9x + 8)(9x - 8) = 9x.9x + 9x.(-8) + 8.9x + 8.(-8)

(9x + 8)(9x - 8) = 81x² - 72x + 72x - 64

(9x + 8)(9x - 8) = 81x² - 64.

c) (13z + 11w)(169z² - 143zw + 121w²)

Aplicando a distributividade, obtemos:

(13z + 11w)(169z² - 143zw + 121w²) = 13z.169z² + 13z.(-143zw) + 13z.121w² + 11w.169z² + 11w.(-143zw) + 11w.121w²

(13z + 11w)(169z² - 143zw + 121w²) = 2197z³ - 1859z²w + 1573zw² + 1859wz² - 1573zw² + 1331w³

(13z + 11w)(169z² - 143zw + 121w²) = 2197z³ + 1331w³.

d) (7b⁴ - 1)(49b⁸ + 7b⁴ + 1)

Aplicando a distributividade, obtemos:

(7b⁴ - 1)(49b⁸ + 7b⁴ + 1) = 7b⁴.49b⁸ + 7b⁴.7b⁴ + 7b⁴.1 - 1.49b⁸ - 1.7b⁴ - 1.1

(7b⁴ - 1)(49b⁸ + 7b⁴ + 1) = 343b¹² + 49b⁸ + 7b⁴ - 49b⁸ - 7b⁴ - 1

(7b⁴ - 1)(49b⁸ + 7b⁴ + 1) = 343b¹² - 1.

e) (5a³ - 4b)(25a⁶ + 20a³b + 16b²)

Aplicando a distributividade, obtemos:

(5a³ - 4b)(25a⁶ + 20a³b + 16b²) = 5a³.25a⁶ + 5a³.20a³b + 5a³.16b² - 4b.25a⁶ - 4b.20a³b - 4b.16b²

(5a³ - 4b)(25a⁶ + 20a³b + 16b²) = 125a⁹ + 100a⁶b + 80a³b² - 100a⁶b - 80a³b² - 64b³

(5a³ - 4b)(25a⁶ + 20a³b + 16b²) = 125a⁹ - 64b³.

f) (15x³ - 4y²)(15x³ + 4y²)

Aplicando a distributividade, obtemos:

(15x³ - 4y²)(15x³ + 4y²) = 15x³.15x³ + 15x³.4y² - 4y².15x³ - 4y².4y²

(15x³ - 4y²)(15x³ + 4y²) = 225x⁶ + 60x³y² - 60x³y² - 16y⁴

(15x³ - 4y²)(15x³ + 4y²) = 225x⁶ - 16y⁴.

Answer 2

Em cada item, o binômio que gerou o produto a cada fatoração foi:

a) 27m³ - 1000n³

b) 81x² - 64  

c) 2197z³ + 1331w³

d)  343b¹² - 1

e) 125a⁹ - 64b³

e) 225x⁶ - 16y⁴

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Produtos notáveis, em matemática, são tipos especiais de produtos algébricos que, por possuírem aplicações em diferentes áreas da matemática, são bastante conhecidos. Paralelo ao seus estudo, está a fatoração.

Entre os produtos notáveis e fatorações utilizadas no exercício, estão:

i) Produto da soma pela diferença de dois termos:

(a+b) . (a-b) = a² - b²

iii) Diferença do cubo de dois termos:

a³- b³ = (a - b) . (a² + ab + b²)

Nessa questão, temos a expressão desenvolvida e devemos procurar o binômio que o gerou.

a) (3m - 10n) . (9m² + 30mn + 100n²)

    27m³ + 90m²n + 300mn² - 90n²m - 300mn² - 1000n³

        27m³ - 1000n³

b) (9x + 8) (9x - 8)

    81x² - 64            

c) (13z + 11w) . (169z² - 143zw + 121w²)

    2197z³ - 1859z²w + 1573zw² + 1859wz² - 1573zw² + 1331w³

    2197z³ + 1331w³

d)  (7b⁴ - 1) . (49b⁸ + 7b⁴ + 1)  

     343b¹² + 49b⁸ + 7b⁴ - 49b⁸ - 7b⁴ - 1

      343b¹² - 1

e) (5a³ - 4b) (25a⁶ + 20a³b + 16b²)  

⠀⠀125a³⁺⁶ + 100a³⁺³b + 80a³b² - 100a⁶b - 80a³b² - 64b²⁺¹  

⠀⠀125a⁹ - 64b³ + 100a⁶b - 100a⁶b + 80a³b² - 80a³b²  

⠀⠀125a⁹ - 64b³

f) (15x³ - 4y²) (15x³ + 4y²)  

⠀⠀(15x³)² - (4y²)²  

⠀⠀225x⁶ - 16y⁴

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