Question

A soma dos infinitos termos de uma PG decrescente é igual a 13,5 e a soma dos dois primeiros termos é igual a 12. Nessas
condições, qual dos termos tem o mesmo valor da razão dessa PG?​

Answer 1

A soma é 13,5, então:

$S_n = \dfrac{a_1}{1-q}$

$\dfrac{135}{10} =\dfrac{a_1}{1-q}$

Multiplicando a fração inteira por $(1+q)$:

$\dfrac{135}{10} =\dfrac{a_1\cdot(1+q)}{(1-q)(1+q)}$

$\dfrac{27}{2} = \dfrac{a_1\cdot(1+q)}{1-q^2}$

A soma dos dois primeiros termos é igual a 12.:

$a_1+a_2 = 12$

$a_1 +a_1\cdot q = 12$

$a_1 (1+q) = 12$

Substituindo:

$\dfrac{27}{2} = \dfrac{a_1\cdot(1+q)}{1-q^2}$

$\dfrac{3^3}{2} = \dfrac{12}{1-q^2}$

$\dfrac{9}{2} = \dfrac{4}{1-q^2}$

$9(1-q^2) = 8$

$1-q^2 = \dfrac{9-1}{9}$

$-q^2 =- \dfrac{1}{9}$

$q = \dfrac{1}{3}$

Achando o primeiro termo:

$a_1 (1+q) = 12$

$a_1\cdot\dfrac{4}{3} = 12$

$a_1 = 9$

Queremos o termo que é igual a razão da PG:

$a_n = q$

$a_1\cdot q^{n-1} = q$

$a_1 = q^{2-n}$

Substituindo os valores:

$9 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2-n}$

$3^2 = \left(3^{-1}\right)^{2-n}$

$3^2 = 3^{n-2}$

$2 = n -2$

$\boxed{n= 4}$

O quarto termo dessa pg será igual a razão da PG.