Question

Explique por que a solução final do exercício |-x² + 6| - 2.x = - 2 é {2 ; 3,23}​

Answer 1

O módulo, basicamente, serve para deixar o número/expressão positiva. Supondo x um número qualquer, em módulo teremos o seguinte:

$\fbox{\displaystyle |x| = x \ , se \ x>0 }$

$\fbox{\displaystyle |x| = -x \ , se x<0 }$

Sabendo disso, vamos para a questão.

Temos a seguinte expressão :

$\fbox{\displaystyle |-x^2+6|-2x = -2 }$

vamos isolar o módulo e analisar.

$\fbox{\displaystyle |-x^2+6| =2x -2 }$

Agora vamos usar a ideia de módulo, teremos o seguinte :

1º Se a expresão $(-x^2+6) > 0$, então :

$\fbox{\displaystyle -x^2+6 = 2x-2 \ }$

passando todos os membros para o lado direito da igualdade.

$\fbox{\displaystyle -x^2+6 = 2x-2 \to x^2 +2x - 8 = 0 }$

Pode resolver por bhaskara, vou deixar para você treinar.

Irei usar a ideia de completar quadrados, sabendo que :

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$

então

$\fbox{\displaystyle x^2 +2x +1 - 9 = 0 \to (x+1)^2 - 9 = 0 \to (x+1) = \sqrt{9} }$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle (x+1) =3 \to x = 2 }$

Agora vamos analisar o outro caso

2º Se a expressão $(-x^2+6) < 0$ , então :

$\fbox{\displaystyle -x^2+6 = -(2x-2) \to -x^2+6 = -2x + 2 }$

passando todos os membros para o lado direito da igualdade

$\fbox{\displaystyle -x^2+6 = -2x + 2 \to x^2-2x-4 = 0 }$

Pode resolver por bhaskara, vou deixar para você treinar.

Vou usar a ideia de completar quadrados novamente, sabendo que :

$x^2-2x+1 = (x-1)^2$

Então :

$\fbox{\displaystyle x^2-2x+1-5 = 0 \to (x-1)^2 - 5 = 0 \to (x-1) = \sqrt{5} }$

Sabendo que $\sqrt{5} \approx 2,23$, então :

$\fbox{\displaystyle x-1 = 2,23 \to x = 1+2,23 \to x = 3,23 }$

Então nossas soluções são :

$\fbox{\displaystyle x : \{2\ ; \ 3,23 \ \} }$