Matéria: Matemática
Autor: cassiamiranda02
Perguntado 6 anos atrás

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calcule a área limitada entre as funções y=3x^2 e y = 9x

Respostas

respondido por: CyberKirito

Pontos de intersecção:

$\mathsf{3x^2=9x\div3}\\\mathsf{x^2=3x}\\\mathsf{x^2-3x=0\implies~x(x-3)=0}\\\mathsf{x=0}\\\mathsf{x-3=0\implies~x=3}$

$\mathsf{y=9x}\\\mathsf{y=9.0=0}\\\mathsf{y=9.3=27}$

Os pontos são (0,0) (3,27)

A área pedida é dada por

$\displaystyle\mathsf{A=\int\limits_{0}^{3} </p><p>(9x-3x^2)dx}=\displaystyle\mathsf{\left[\dfrac{9}{2}x^2-x^3\right]_{0}^3}$

Note que o limite inferior é nulo. Portanto é muito mais prático substituir somente o limite superior de integração.

Daí

$\mathsf{A=\dfrac{9}{2}\cdot3^2-3^3}\\\mathsf{A=\dfrac{81}{2}-27}\\\mathsf{A=\dfrac{81-54}{2}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{A=\dfrac{27}{2}~u\cdot a}}}}}$

$\boxed{\boxed{\textsf{Espero~ter~ajudado}}}$

$\dotfill$

$\displaystyle\mathsf{\ell ife=\int\limits_{birth}^{death}\dfrac{happiness}{time}dtime}$

respondido por: solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a área entre as referidas funções é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \int_{0}^{3}(-3x^{2} + 9x)\,dx = \frac{27}{2}\,u.\,a.\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam as funções polinomiais:

$\Large\begin{cases}\tt y = 3x^{2}\\ \tt y = 9x\end{cases}$

Organizando as funções temos:

$\Large\begin{cases}\tt f(x) = 3x^{2}\\ \tt g(x) = 9x\end{cases}$

Para resolver esta questão, devemos:

Obter o intervalo de integração. Para isso fazemos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 3x^{2} = 9x\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 3x^{2} - 9x = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x\cdot(3x - 9) = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x' = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt 3x'' - 9 = 0\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x'' = 3\end{gathered}$}$

Portanto, o intervalo de integração é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt I = (x', x'') = (0, 3)\end{gathered}$}$

calcular a área limitada pelas funções.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{a}^{b} \left[g(x) - f(x)\right]\,dx\end{gathered}$}$

Onde:

$\Large\begin{cases} \tt S = \acute{A}rea\:entre\:as\:curvas\\\tt a = Limite\:inferior\:intervalo\\\tt b = Limite\:superior\:intervalo\\\tt g(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:acima\\\tt f(x) = Func_{\!\!,}\tilde{a}o\:mais\:abaixo\end{cases}$

Então, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt S = \int_{0}^{3}(9x - 3x^{2})\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \int_{0}^{3}(-3x^{2} + 9x)\,dx\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \bigg(-\frac{3x^{2 + 1}}{2 + 1} + \frac{9x^{1 + 1}}{1 + 1} + c\bigg)\bigg|_{0}^{3}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \bigg(-\frac{3x^{3}}{3} + \frac{9x^{2}}{2} + c\bigg)\bigg|_{0}^{3}\end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \bigg(-\frac{3\cdot3^{3}}{3} + \frac{9\cdot3^{2}}{2} + c\bigg) - \bigg(-\frac{3\cdot0^{3}}{3} + \frac{9\cdot0^{2}}{2} + c\bigg)\end{gathered}$}$