Question

Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 30x² + 45y² = 900. *
1 ponto
fOCOS: F1(–√20,0) e F2(√10, 0); EXTREMIDADES: A1(–√(10 ),0) e A2(√(20 ),0).
FOCOS: F1(–√10,0) e F2(√10, 0); EXTREMIDADES: A1(–√(30 ),0) e A2(√(30 ),0).
FOCOS: F1(–10,0) e F2(10, 0); EXTREMIDADES: A1(–(30 ),0) e A2((30 ),0).
fOCOS: F1(–√10,20) e F2(√10,-20 0); EXTREMIDADES: A1(–√(30 ),0) e A2(√(30 ),0).
EXTREMIDADES: F1(–√10,0) e F2(√10, 0); FOCOS: A1(–√(30 ),0) e A2(√(30 ),0).

Answer 1

A elipse possui duas ramificações para as suas equações.

• A primeira ramificação é dada pela elipse quando o seu centro é na origem do plano cartesiano, dentro dessa ramificação é que existe as equações, sendo a primeira quando o maior eixo está sobre o eixo "x" e a segunda obviamente é dada quando o maior eixo está sobre o eixo "y". Essas tais equações são:

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \: \: \: \: e \: \: \: \: \frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } = 1$

• A segunda ramificação é quando o centro da elipse está dispersa no plano cartesiano e, do mesmo jeito que a primeira possui equações para diferentes eixos, essa também possui e tais equações são dadas por:

$\sf \frac{(x - x_0) {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{(y - y_0) {}^{2} }{b {}^{2} } \: \: \: \: e \: \: \: \frac{(x - x_0) {}^{2} }{b {}^{2} } + \frac{(y - y _0) {}^{2} }{a {}^{2} }$

Tendo feito essas explicações, vamos partir para os cálculos.

• A questão nos fornece as seguinte equação elíptica:

$\sf 30x {}^{2} + 45y {}^{2} = 900$

Note que essa equação não se assemelha com nenhuma das equações, e lá vai uma dica: Sempre que a equação estiver disposta dessa forma, passe o número que está depois da igualdade, dividindo toda a equação.

$\sf \frac{30x {}^{2} }{900} + \frac{45y {}^{2} }{900} = \frac{900}{900} \\ \\ \ast \: \sf \frac{x {}^{2} }{30} + \frac{y {}^{2} }{20} = 1 \: \ast$

Como o maior valor está sobre o x², então o maior eixo está sobre o eixo "x", portanto vamos ter que comparar essa equação com a primeira equação citada na explicação.

$\sf \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } + \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \: \: \therefore \: \: \: \frac{x {}^{2} }{30} + \frac{y {}^{2} }{20} = 1 \\ \\ \begin{cases} \sf a {}^{2} = 30 \\ \sf a = \sqrt{30} \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases} \sf b {}^{2} = 20 \\ \sf b = \sqrt{20} \end{cases}$

Para encontrar o foco (c), basta jogar no Teorema de Pitágoras.

$\sf a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf ( \sqrt{30} ) {}^{2} = ( \sqrt{20} ) {}^{2} + c {}^{2} \\ \sf 30 = 20 + c {}^{2} \\ \sf c {}^{2} = 30 - 20 \\ \sf c {}^{2} = 10 \\ \sf c = \sqrt{10}$

Agora é só organizar os dados.

$\sf A_1(-a,0) \: \: A_2(a,0) \\ \sf A_1( - \sqrt{30} ,0) A_2( \sqrt{30} ,0) \\ \\ \sf F_1( - c,0), F_2(c,0) \\ \sf F_1( - \sqrt{10} ,0), F_2( \sqrt{10} ,0)$

Espero ter ajudado