Question

Derive as funções: estão na imagem abaixo, gostaria do desenvolvimento...

Answer 1

Para resolver essas derivadas, usaremos a regra da cadeia, a regra do quociente e a derivada do monômio.

A regra da cadeia diz que:

• Seja $\sf y = f(u)$ e $\sf u = g(x)$, então $\sf y' = f'(u).u'$

A regra do quociente possui uma estrutura, que é dada por:

$\boxed{ \sf\left(\dfrac{f}{g} \right)'=\dfrac{\sf f'.g-f</p><p>g'}{\sf g^{2}}}$

A derivada do monômio é bem simples de entender:

$\boxed{\sf (a.x^{n})' =n.a.x^{n-1}}$

• Item a):

$\sf f(x)= 7x {}^{3} - 5 \sqrt{x} + 3e - \frac{4}{x {}^{5} } \\ \\ \sf f(x)' = 3.7x {}^{3 - 1} - 5x {}^{ \frac{1}{2} } + \cancel{3e}^{0} - 4.\frac{1}{x {}^{5} } \\ \\ \sf f(x)' = 21 {x}^{2} - \frac{1}{2} .5x {}^{ \frac{1}{2} - 1 } - 4x {}^{ - 5} \\ \\ \sf f(x)' = 21x {}^{2} - \frac{5x {}^{ \frac{1 - 2}{2} } }{2} - ( - 5).4x {}^{ - 5 - 1} \\ \\ \sf f(x)' = 21x {}^{2} - \frac{5x {}^{ - \frac{ 1}{2} } }{2} + 20x {}^{ - 6} \\ \\ \sf f(x)' = 21x {}^{2} - \frac{5}{2} . \frac{1}{x {}^{ \frac{1}{2} } } + 20. \frac{1}{x {}^{6} } \\ \\ \boxed{\sf f(x)' = 21x {}^{2} - \frac{5}{2x {}^{ \frac{1}{2} } } + \frac{20}{x {}^{6} } }$

• Item b):

$\sf f(x) = \frac{4}{ \sqrt{3x {}^{2} - 1} } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{(4)'. \sqrt{3x {}^{2} - 1 } - 4.( \sqrt{3x {}^{2} - 1 })'}{( \sqrt{3x {}^{2} - 1 } ) {}^{2} } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{0. \sqrt{3x {}^{2} - 1 } - 4.(3x {}^{2} - 1) {}^{ \frac{1}{2} } }{3x {}^{2} - 1} \\ \\ \sf f(x)' = \frac{ - 4. \frac{1}{2} (3x {}^{2} - 1) {}^{ \frac{1}{2} - 1 } .(3x {}^{2} - 1)'}{3x {}^{2} - 1 } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{ - 2.(3x {}^{2} - 1) {}^{ - \frac{1}{2} }.(2.3 x {}^{2 - 1} ) }{3x {}^{2} - 1} \\ \\ \sf f(x)' = \frac{ - 2.(3x {}^{2} - 1) {}^{ - \frac{1}{2} }.(6x) }{3 {x}^{2} - 1} \\ \\ \sf f(x)' = \frac{ - 2.1.6x}{3x {}^{2} - 1.(3x {}^{2} - 1) {}^{ \frac{1}{2} } } \\ \\ \sf f(x)' = - \frac{ 12x}{(3x {}^{2} - 1) {}^{ \frac{1}{2} + 1 } } \\ \\ \boxed{ \sf f(x)' = - \frac{12x}{(3x {}^{2} - 1) {}^{ \frac{3}{2} } } }$

• Item c):

$\sf f(x) = \frac{sen(x)}{2x} \\ \\ \sf f(x)' = \frac{(sen(x)) ' .2x - sen(x).(2x)'}{(2x) {}^{2} } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{cos(x).2x - sen(x).2}{4x {}^{2} } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{2xcos(x) - 2sen(x)}{4x {}^{2} } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{2.(x.cos(x) - sen(x))}{2.2 {x}^{2} } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{x.cos(x) - sen(x)}{2x {}^{2} }$

Espero ter ajudado