Question

Alguem me socorre por favor​

Answer 1

• a) Esse será o item mais trabalhoso dessa sua atividade.

$\sf log_{2}(x - 2) + log_{2}(x - 3) = 1 + log_{2}(2x - 7)$

• A primeira coisa que você deve fazer é verificar a condição de existência de cada logaritmo, ou seja, o logaritmando deve ser maior que "0".

$\sf \begin{cases} \sf x - 2 > 0 \\ \sf x > - 2\end{cases} \begin{cases} \sf x - 3 > 0 \\ \sf x > 3\end{cases} \begin{cases} \sf 2x - 7 > 0 \\ \sf 2x > 7 \\ \sf x > \frac{7}{2} \end{cases}$

Tendo feito isso, parta para os cálculos de fato.

$\sf log_{2}(x - 2) + log_{2}(x - 3) = 1 + log_{2}(2x - 7) \\ \\ \sf log_{2}((x - 2) .(x - 3)) = 1 + log_{2}(2x - 7) \\ \\ \sf log_{2}((x - 2).(x - 3)) - log_{2}(2x - 7) = 1 \\ \\ \sf log_{2} \left( \frac{(x - 2).(x - 3)}{2x - 7} \right) = 1 \\ \\ \sf \frac{(x - 2).(x - 3)}{2x - 7} = 2 {}^{1} \\ \\ \sf \frac{(x - 2).(x - 3)}{2x - 7} = 2 \\ \\ \sf (x - 2).(x - 3) = 2.(2x - 7) \\ \\ \sf x {}^{2} - 3x - 2x + 6 = 4x - 14 \\ \\ \sf x {}^{2} - 5x - 4x + 6 + 14 = 0 \\ \\ \sf x {}^{2} - 9x + 20 = 0 \\ \\ \sf (x - 5).(x - 4) = 0 \\ \\ \sf (x - 5) = 0 \\ \boxed{\sf x _1= 5} \\ \\ \sf ( x - 4) = 0 \\ \boxed{\sf x _2= 4}$

Todos esses valores estão de acordo com a condição de existência.

• Para resolver o item b), basta você seguir os mesmos passos anteriores, só que dessa vez a condição de existência dará-se através da base desse logaritmo.

$\begin{cases} \sf 2x + 1 > 0 \\ \sf 2x > - 1 \\ \sf x > - \frac{1}{2} \\ \\ \sf 2x + 1 \neq1 \\ \sf 2x \neq1 - 1 \\ \sf 2x \neq 0 \\ \sf x \neq0\end{cases}$

Partindo para os cálculos:

$\sf log_{2x + 1}(10x - 3) = 1 \\ \\ \sf 10x - 3 = (2x + 1) {}^{1} \\ \\ \sf 10x - 3 = 2x + 1 \\ \\ \sf 10x -2x = 1 + 3 \\ \\ \sf 8x = 4 \\ \\ \sf x = \frac{4}{8} \\ \\ \boxed{\sf x = \frac{1}{2}}$

• O item c) é o mais simples, pois basta você aplicar a definição de logaritmo.

$\sf log_{4}(2x + 10) = 2 \\ \\ \sf 2x + 10 = 4 {}^{2} \\ \\ \sf 2x + 10 = 16 \\ \\ \sf 2x = 16 - 10 \\ \\ \sf 2x = 6 \\ \\ \sf x = \frac{6}{2} \\ \\ \boxed{\sf x = 3}$

• d) Esse item é o segundo "complicado". Comece observando a condição de existência.

$\begin{cases} \sf 4x - 2 > 0 \\ \sf 4x > 2 \\ \sf x > \frac{2}{4} \\ \sf x > \frac{1}{2} \end{cases} \begin{cases} \sf 2x - 1 > 0 \\ \sf 2x > 1 \\ \sf x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Aplicando as propriedades:

$\sf log(4x - 2) = log(2) - log(2x - 1) \\ \\ \sf log(4x - 2) = log \left (\frac{2}{2x - 1} \right) \\ \\ \sf 4x - 2 = \frac{2}{2x - 1} \\ \\ \sf (4x - 2).(2x - 1) = 2 \\ \\ \sf8x {}^{2} - 8x + 2 = 2 \\ \\ \sf 8x {}^{2} - 8x + 2 - 2 = 0 \\ \\ \sf 8x {}^{2} - 8x = 0 \\ \\ \sf x.(8x - 8) = 0 \\ \\ \boxed{ \sf x_1 = 0} \\ \\ \sf 8x - 8 = 0 \\ \sf 8x = 8 \\ \sf x = \frac{8}{8} \\ \boxed{\boxed{\sf x_2 = 1}}$

O valor "0" não está de acordo com a condição de existência, portanto despreze ele e fique apenas com o resultado "1".

Espero ter ajudado