A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6 avenidas na direção leste-oeste. Todo dia Marcos parte da sua casa, que se encontra no ponto A, e se dirige para a escola, no ponto B. Em, cada cruzamento da avenida, Marcos escolhe ao acaso a direção que vai seguir, mas sempre de tal forma que o trajeto percorrido de sua casa até a escola seja de comprometimento mínimo. A probabilidade de o trajeto percorrido por Marcos passe pela casa de seu amigo Fernando, que se encontra no ponto C, é: (Façam bem detalhadinho pfvor)
Respostas
Através da permutação por repetição podemos concluir que a probabilidade será de 45,4%.
Nos caminhos mínimos, Marcos sempre andará 6 vezes para a direita e 5 vezes para cima (conte as intercessões entre as ruas) para chegar até B. Sendo assim, ele fará 11 movimentos.
Exemplo: DDDDDDCCCCC; DDCDDCDDCCC (D é direta e C é cima)
Consideramos esse problema como a análise combinatória por permutação com repetição, onde temos diversas combinações possíveis de um conjunto com 2 dados diferentes, movimentos para a direita e para cima.
Vamos calcular a probabilidade estimando a possibilidade de caminhos que passam pela casa de Fernando dividindo pelo total dos caminhos que Marcos pode fazer (conjunto com 11 elementos).
As possibilidades de Marcos passar por C são uma multiplicação entre dois conjuntos, de A até C (com 8 elementos - 4 Norte e 4 Leste) e de C até B (com 3 elementos - 2 Leste e 1 Norte):
P⁴ ⁴ ₈ (AC) = 8!/ (4! * 4!) = 70 possibilidades
P² ¹ ₃ (CB) = 3!/ (2! * 1!) = 3 possibilidades
P (ACB) = P(AC) * P(CB) = 70* 3
P (ACB) = 210 possibilidades
Já para o conjunto total de caminhos que Marcos pode percorrer, teremos 11 elementos com 6 caminhos para o Leste e 5 para o Norte.
P (AB) = P⁵ ⁶ ₁₁ = 11!/ (5! * 6!) = 462 possibilidades
Ou seja, a probabilidade de Marcos passar na casa de Fernando é de:
P = P(ACB) / P(AB)
P = 210 / 462
P = 0,454 = 45,4%
Espero ter ajudado!