Question

Dadas as circunferências λ1 e λ2 , descubra suas posições relativas e seus pontos comuns (se houver):


λ1 : (x - 2)² + (y - 1)² = 4

λ2 : (x - 2)² + (y + 2)² = 1

Answer 1

Ponto de interseção ( 2;-1)

Posição relativa tangentes externas .

Equação da circunferência:

${(x - x _0)}^{2} + {(y - y_0)}^{2} = {r}^{2}$

onde :

$x _0 = abscissa \: do \: centro$

$y_0 = ordenada \: do \: centro$

$r = raio$

distância entre dois pontos :

$\sqrt{(x - x _1) ^{2} + (y - y_ 1) ^{2} }$

Quadrado da diferença

$(a - b )^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2}$

Quadrado da soma

$(a + b) {}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$

Em λ1 temos :

$(x - 2) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} = 4$

Ou seja :

$x _0 = 2$

$y _0 = 1$

${r}^{2} = 4 \: \\ r = 2$

Essa circunferência tem centro (2;1) e raio 2

Em λ2 temos :

$(x - 2) {}^{2} + (y + 2) {}^{2} = 1$

$x _0 = 2$

$y _0 = - 2$

${r}^{2} = 1 \\ r = 1$

Essa circunferência tem o centro (2;-2) e raio 1

• Achar a distância dos dois centros:

$\sqrt{(2 - 2) {}^{2} + ( - 2 - 1) {}^{2} } = \\ = {(0) {}^{2} + ( - 3) }^{2} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} \\ = 3$

• soma dos raios

$r _1 = 2 \\ r _2 = 1 \\ r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$

Como a soma dos raios é igual a distância dos centros, temos que λ1 e λ2 são tangentes externas .

Se são tangentes elas tem um único ponto de interseção ( comum)

Para achar vamos igualar as equações

λ1:

$(x - 2) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} - 4 = 0$

λ2 :

$(x - 2) {}^{2} + (y + 2) {}^{2} - 1 = 0$

λ1= λ2

$(x - 2) {}^{2} + (y - 1) {}^{2} - 4 = \\ = (x - 2) {}^{2} + (y + 2) {}^{2} - 1$

• subtraindo

$(x - 2) {}^{2}$

Nos dois lados temos :

$(y - 1) {}^{2} - 4 = (y + 2) {}^{2} - 1$

• Desenvolvendo o quadrado da diferença:

$(y - 1) {}^{2} = y {}^{2} - 2 \times 1 \times y + 1 = \\ y {}^{2} - 2y + 1$

• Desenvolvendo o quadrado da soma:

$(y + 2) {}^{2} = y {}^{2} + 2 \times 2 \times y + 4 = \\ y {}^{2} + 4y + 4$

Então temos :

$y {}^{2} - 2y + 1 - 4 = \\ = y {}^{2} + 4y + 4 - 1$

$y {}^{2} - 2y - 3 =y {}^{2} + 4y + 3$

• subtraindo
• $y {}^{2}$

Dos dois lados , temos :

$- 2y - 3 = 4y + 3$

• somando 3 nos dois lados temos :

$- 2y = 4y + 6$

• somando 2y nos dois lados temos :

$0 = 6y + 6$

Isso implica que :

$6y = - 6 \\ y = \frac{ - 6}{6} = - 1$

Substituindo em λ1 ( por exemplo)

$(x - 2) {}^{2} + ( - 1 - 1) {}^{2} = 4$

$(x - 2) {}^{2} ( - 2) {}^{2} = 4$

$(x - 2) {}^{2} + 4 = 4$

$(x - 2) {}^{2} = 0 \\ (x - 2) = 0 \\ x - 2 = \\ x = 2$

Ponto em comum (2;-1)

A posição relativa é tangente externa e o ponto em comum é ( 2;-1).

Aprenda mais em :

https://brainly.com.br/tarefa/12640395

https://brainly.com.br/tarefa/28596937