Question

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) - x^3+3x +1 no ponto de abscissa x=2

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf f(x) = - x {}^{3} + 3x + 1$

A primeira coisa que devemos fazer, é encontrar a coordenada do ponto em que essa reta tangente toca a curva, a abscissa (x) dessa coordenada a questão fornece que é x = 2, para encontrar a ordenada (y), basta substituir o valor de "x" na função f(x) e encontrar "y".

$\sf f(x) = - x {}^{3} + 3x + 1 \\ \sf f(2) = - 2 {}^{3} + 2.3 + 1 \\ \sf f(2) = - 8 + 6 + 1 \\ \sf f(2 ) = - 8 + 7 \\ \sf f(2) = - 1 \\ \boxed{ \sf y = - 1}$

Portanto a coordenada será: C(2, -1).

Tendo feito isso, devemos lembrar que uma reta possui a seguinte lei de formação: y = mx + n, como sabemos a derivada é inclinação de uma reta, ou seja, é o coeficiente angular, esse "m" pode ser encontrado através da derivada da função f(x), portanto vamos fazer isso:

$\boxed{ \sf f(x)'= m }\\ \\ \sf f(x) = - x {} ^{3} + 3x + 1 \\ \sf f(x)' = 3.( - 1)x {}^{3 - 1} + 1.3x {}^{1 - 1} + 0 \\ \sf f(x)' = - 3x {}^{2} + 3$

A questão diz que "x" é "2", portanto substitua na expressão derivada e lembre-se de trocar f(x)' por "m".

$\sf f(2)' = m = - 3.2 {}^{2} + 3 \\ \sf m = - 3.4 + 3 \\ \sf m = - 12 + 3 \\ \boxed{ \sf m = - 9}$

Encontramos o "m", então vamos substituir na lei de formação:

$\sf y = mx + n \\ \sf y = - 9x + n$

Para finalizar, devemos encontrar o "n", para encontrá-lo, basta substituir os valores da coordenada do ponto que encontramos no começo da resolução:

$\sf C(2,-1) \rightarrow x = 2 \: \: \: y = - 1 \\ \\ \sf y = - 9x + n \\ \sf - 1 = - 9.(2) + n \\ \sf - 1 = - 18 + n \\ \sf n = - 1 + 18 \\ \boxed{ \sf n = 17}$

Portanto temos que:

$\boxed{\boxed{ \sf \large y = - 9x + 17}}$

Espero ter ajudado