Question

Dado: f(x)= x³-2x²+x+1 determine:

Answer 1

f(x) = x³ - 2x² + x + 1

Podemos derivar e igualar a 0 para descobrir nos momentos em que a função chega no ponto crítico (muda o sinal)

f'(x) = 3x² - 4x + 1

3x² - 4x + 1 = 0

Δ = b² - 4.a.c

Δ = -4² - 4 . 3 . 1

Δ = 16 - 4. 3 . 1

Δ = 4

Há 2 raízes reais.

x = (-b +- √Δ)/2a

 

x' = (--4 + √4)/2.3    

x'' = (--4 - √4)/2.3

x' = 6 / 6    

x'' = 2 / 6

x' = 1    

x'' = 1/3

Para saber se tá crescendo ou decrescendo basta que substituamos os valores na segunda derivada, se for positivo, é decrescente, se for negativo é crescente

f''(x) = 6x - 4

f''(1) = 6 - 4 = 2 (decrescente )

f''(1/3) = 6.1/3 - 4 = -2 (crescente)

Então ele é crescente no intervalo ]-infinito, 1/3] u [1, +infinito[

E decrescente em [1/3, 1]

b) Pontos de máximo e mínimo relativo é só substituir os pontos críticos na equação

f(1) = 1³ - 2.1² + 1 + 1 = 1 - 2 + 1 + 1 = 1

f(1/3) = (1/3)³ - 2.(1/3)² + (1/3) + 1 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 1 = 31/27

Ponto de máximo (1/3, 31/27)

Ponto de mínimo (1, 1)