Question

Como encontrar o conjunto das partes da união? Considerando um conjunto A com p elementos, e um conjunto B com q elementos, qual será a quantidade de subconjuntos não vazios de A U B?
a) $nAUB = 2^{p+q - 2}$
b) $nAUB = 2^{p-1} + 2^{q-1}$
c) Nenhuma das anteriores. Nesse caso, demonstre qual a forma correta.

Answer 1

• Nenhuma das alternativas está correta.

• Já que a questão não menciona o número de elementos da intercessão entre A e B, vou separar em dois casos:

1. Considerando $\#A \cap B=0$, ou seja, eles não tem nenhum elemento em comum:

• Todos os elementos da união tem duas possibilidades, ser ou não ser um elemento do subconjunto. Pelo P.F.C(Princípio Fundamental da Contagem):

$\#A\cup B = \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 2\cdot2\cdots\cdot2 } \end{matrix} \\\\\\\#A\cup B = 2^{p+q}$

• A questão pede para retirar aqueles vazios, ou seja, todos os elementos escolhem a opção de não ser(1 possibilidade apenas).
• P.F.C:

$N_{vazios} = \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 1\cdot1\cdots\cdot1 } \end{matrix} \\\\\\\#N_{vazios} = 1^{p+q}=1$

• Retirando todos os conjuntos vazios:

$nA\cup B = 2^{n+p}-1$

• Segundo caso:

• Considerando $\#A \cap B \neq0$, ou seja, eles têm elementos em comum:

• Esse caso é mais complicado , já que o número de elementos da  união não é a soma do número de elementos dos dois conjuntos, temos que corrigir subtraindo pelo número de elementos da intercessão entre os dois conjuntos:

$\#A\cup B \neq \#A +\# B\\\\\#A\cup B = \#A + \#B - \#(A\cap B)\\\\\#A\cup B = p+q - \#(A\cap B)$

• Seguindo o mesmo raciocínio utilizado anteriormente:

$nA\cup B = 2^{p+q-\#(A\cap B)}-1$

• Essa seria a fórmula geral.

• Veja mais:

https://brainly.com.br/tarefa/20275616

Answer 2

Resposta:

Nenhuma das alternativas está correta.

Já que a questão não menciona o número de elementos da intercessão entre A e B, vou separar em dois casos:

Considerando \#A \cap B=0#A∩B=0 , ou seja, eles não tem nenhum elemento em comum:

Todos os elementos da união tem duas possibilidades, ser ou não ser um elemento do subconjunto. Pelo P.F.C(Princípio Fundamental da Contagem):

\begin{gathered}\#A\cup B = \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 2\cdot2\cdots\cdot2 } \end{matrix} \\\\\\\#A\cup B = 2^{p+q}\end{gathered}

#A∪B=

p+q

2⋅2⋯⋅2

#A∪B=2

p+q

A questão pede para retirar aqueles vazios, ou seja, todos os elementos escolhem a opção de não ser(1 possibilidade apenas).

P.F.C:

\begin{gathered}N_{vazios} = \begin{matrix} p+q \\ \overbrace{ 1\cdot1\cdots\cdot1 } \end{matrix} \\\\\\\#N_{vazios} = 1^{p+q}=1\end{gathered}

N

vazios

=

p+q

1⋅1⋯⋅1

#N

vazios

=1

p+q

=1

Retirando todos os conjuntos vazios:

nA\cup B = 2^{n+p}-1nA∪B=2

n+p

−1

Segundo caso:

Considerando \#A \cap B \neq0#A∩B



=0 , ou seja, eles têm elementos em comum:

Esse caso é mais complicado , já que o número de elementos da união não é a soma do número de elementos dos dois conjuntos, temos que corrigir subtraindo pelo número de elementos da intercessão entre os dois conjuntos:

\begin{gathered}\#A\cup B \neq \#A +\# B\\\\\#A\cup B = \#A + \#B - \#(A\cap B)\\\\\#A\cup B = p+q - \#(A\cap B)\end{gathered}

#A∪B



=#A+#B

#A∪B=#A+#B−#(A∩B)

#A∪B=p+q−#(A∩B)

Seguindo o mesmo raciocínio utilizado anteriormente:

nA\cup B = 2^{p+q-\#(A\cap B)}-1nA∪B=2

p+q−#(A∩B)

−1

Essa seria a fórmula geral.

Veja mais:

https://brainly.com.br/tarefa/20275616

Explicação passo-a-passo:

espero ter ajudado