Question

Logaritmos:

a) log4 X + log4 (x-3)=1

b)log(x-5) + log(2x-20)= 1+log(3x-35)

c) loh16 {4.log2 [1+ 4.log2 x]}= -1/2

 

Essa última preciso de uma explicação maior, pq eu não entendi naaaada disso.

Answer 1

Olá CAmanda,

 

Antes de tudo, é necessário relembrar algumsa propriedades de logaritmo.

I) $Log_a c = b \rightarrow a^b = c$

II) $Log_a b = Log_a c \rightarrow b = c$

III) $Log_a b = \frac{log_c a}{log_c b}$

IV) $Log_a b + Log_a c \rightarrow Log_a bc$

 

a) $Log_4 x + Log_4 (x - 3) = 1$

De acordo com a terceira propriedade, mudança de base, iremos levar para base 10 que facilita a resolução de alguns problemas.

 

$\frac{Log x + Log (x - 3)}{Log 4} = 1$

Pela quarta propriedade:

$\frac{Log x(x - 3)}{Log 4} = 1$

Vamos passar o $Log 4$ multiplicando para o segundo lado da equação:

$Log x(x - 3) = Log 4$

Pela segunda propriedade:

$x(x - 3) = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Resolvendo essa equação do segundo grau iremos encontrar duas raízes.

$\boxed{x' = -1}$

$\boxed{x" = 4}$

 

Como nos reais ($\mathb{R}$) não existe logaritmo de número negativo, concluímos que a solução para esse problema é x" = 4. Você também poderia verificar substituindo nas equações e veria que o resultado seria diferente.

 

b) $Log (x - 5) + log(2x - 20) = 1 + Log(3x - 35)$

Sabe-se que quando o logaritmando e a base são iguais, o resultado é 1. Fazendo o caminho inverso, traremos a equivalência de 1 com base 10 (já que todos os outros estão com base dez, o que fica subentendido quando as bases não são citadas).

 

$\therefore 1 = Log_{10} 10$

 

Pela propriedade número 4:

$Log (x - 5)(2x - 20) = Log 10(3x - 35)$

Pela propriedade número 2:

$(x - 5)(2x - 20) = 10(3x - 35)$

$2x^2 - 20x - 10x + 100 = 30x - 350$

$2x^2 - 30x - 30x + 100 + 350 = 0$

$2x^2 - 60x + 450 = 0$
Simplificando tudo por 2:

$x^2 - 30x + 225 = 0$

 

Resolvendo essa equação do segundo grau, iremos obter a solução:

$\boxed{x = 15}$ 

 

c) $Log_16 {4log_2 [1 + 4log2 x]} = \frac{-1}{2}$

CAmanda, você poderia por favor explicar melhor essa alternativa c? Não está claro quem é base, quem é logaritmando, etc. Assim que você explicar (pode ser por mensagem), eu edito minha resposta e completo com a resolução para esta c.