Question

calcule a seguinte integral:

∫ sen⁵ x cos³ xdx

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Answer 1

Temos a seguinte integral trigonométrica:

$\sf \int sen {}^{5} x.cos {}^{3} x . dx$

• Quando temos uma integral do tipo: $\boxed{\sf \int sen^{m}x.cos^{n}x.dx}$

Devemos lembrar de duas regras sobre os expoentes "m" e"n", que sempre serão números inteiros.

$\sf \begin{cases} \sf m \:\:ou\:\: n\:\: \acute{i}mpar\rightarrow sen^{2}x + cos^{2}x = 1\\\\ \sf m \:\: e \:\: n \:\: pares\rightarrow \begin{cases} \sf sen^{2}(x) = \frac{1-cos(2x}{2}\\ \sf cos^{2}(x) =\sf\frac{1+cos(2x)}{2}\end{cases} \end{cases}$

Como você pode notar, a integral em questão se encaixa na primeira regra do expoente ímpar. Para não termos muito trabalho, vamos usar com o cos³x.

• Primeiro isole o cos²x da relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen {}^{2} x + cos {}^{2} x = 1 \\ \sf cos {}^{2} = 1 - sen {}^{2} x$

Após isso, faça uma manipulação no cos³x de forma que apareça cos²x, ao fazer isso, prossiga com o cálculo.

$\sf sen {}^{5} x.cos {}^{3} x = sen {}^{5} x.(cos {}^{2} x).cosx \\ \\ \sf sen {}^{5} x.(1 - sen {}^{2} x).cosx = \\ \\ \sf sen {}^{5}x.cosx.(1 - sen {}^{2} x) = \\ \\ \sf1( sen {}^{5}x .cosx) - sen {}^{5}x .cosx.(sen {}^{2} x) = \\ \\ \boxed{\sf sen {}^{5}x .cosx - sen {}^{7} x.cosx}$

Esse valor que encontramos, é equivalente a sen⁵x . cos³x . dx, portanto vamos calcular a integral desse novo valor, para isso devemos utilizar a integral por substituição:

• Primeiro abra essa integral em duas:

$\sf\int sen {}^{5} x.cosx - sen {}^{7}.cosx. dx = \\ \\ \sf \int sen {}^{5} x.cosx . dx - \int sen {}^{7} .cosx .dx$

• Usando a integral por substituição:

• Integral (1):

$\sf \int sen {}^{5} x.cosx.dx \\ \sf u =</p><p>senx \\ \sf du = cosx.dx \\ \\ \sf \int u {}^{5} .du = \frac{u {}^{5 + 1} }{5 + 1} = \frac{u{}^{6} }{6} = \frac{sen {}^{6}x }{6}$

• Integral (2):

$\sf \int sen {}^{7} x.cosx.dx \\ \sf u = senx \\ \sf du = cosx.dx \\ \\ \sf\int u {}^{7} .du = \frac{u {}^{7 + 1} }{7 + 1} = \frac{u{}^{8} }{8} = \frac{sen {}^{8}x }{8}$

Por fim, temos que a resposta é:

$\sf\int sen {}^{5} x.cosx - sen {}^{7}.cosx. dx = \\ \\ \sf \int sen {}^{5} x.cosx . dx - \int sen {}^{7} .cosx .dx = \\ \\ \boxed{ \sf \frac{sen {}^{6} x}{6} - \frac{sen {}^{8}x }{8} + C}$

Espero ter ajudado