Dado um quadrado de lado 1, traça-se uma reta que passa no centro do quadrado e dois segmentos perpendiculares a essa reta, que unem a reta a dois vértices consecutivos, como se vê na figura. Sabendo que um desses segmentos mede 1/4, quanto mede o outro?
Respostas
Na figura, a medida do outro segmento desconhecido é √7/4.
O que preciso para resolver a questão?
Para resolver a questão, você precisará basicamente das noções de semelhança de triângulos, do teorema de Pitágoras e de equações do segundo grau.
Como solucionar o problema?
Antes de tudo, devemos esboçar alguns pontos (vide figura anexada). Para fazer isso, o problema nos informa que a reta cruza o centro do quadrado. Então perceba que dessa maneira podemos criar um segmento CD medindo a metade do valor do lado 1, ou seja, 0,5.
Assim formamos um ΔCDE que é semelhante ao ΔEFG por terem os três ângulos internos congruentes. Logo, a razão de semelhança entre seus lados nos diz que são proporcionais, ou seja,
CD / GF = CE / EG
0,5 / 1/4 = CE / x
CE = (0,5 / 0,25) . x
CE = 2x
Agora com o ΔCDE podemos utilizar o teorema de Pitágoras. Repare que DE vale (0,5-x), pois DG = 0,5 e EG = x.
(0,5)² + (0,5-x)² = (2x)²
0,25 + 0,25 - x + x² = 4x²
3x² + x - 0,5 = 0
Pela fórmula de Bhaskara,
Delta = b² -4.a.c
Delta = 1² -4.3.(-0,5)
Delta = 1 + 6
Delta = 7
x' e x'' = -b ± √Δ/2a
- x' = (-1 + √7)/6
- x'' = (-1 -√7)/6
Como x'' é negativo, podemos descartá-la para este problema. Então x' é o valor de x procurado.
x = (√7 - 1)/6
Novamente por semelhança de triângulos ΔHIE ~ ΔEFG, então:
HE / EG = IH / GF
(1-x) / x = IH / (1/4)
[1- (√7 - 1)/6]/ [(√7 - 1)/6] = IH/ 1/4
IH = 1/4 . [(7 - √7)/(√7 - 1)]
IH = 1/4 . [√7]
IH = √7/4
Portanto, o outro segmento mede √7/4 unidades de medida.
Resposta: A)
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