Question

O conjunto solução da equação $sen^2x + 4 cos x = -4$ é?
a) S = {$x/x = \pi + 2k\pi$}
b) S = {$x/x = \frac{\pi }{2} +2k\pi$}
c) S = {$x/x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi$}
d) S = {$x/x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi$}

Answer 1

sen²x + 4cosx = -4

Nós sabemos que sen²x + cos²x = 1, portanto, sen²x = 1 - cos²x

Vamos substituir sen²x na equação

1 - cos²x + 4cosx = -4

-cos²x + 4cosx + 5 = 0

Vamos chamar cos x = y

-y² + 4y + 5 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 4² - 4 . -1 . 5

Δ = 16 - 4. -1 . 5

Δ = 36

Há 2 raízes reais.

y = (-b +- √Δ)/2a

 

y' = (-4 + √36)/2.-1    

y'' = (-4 - √36)/2.-1

y' = 2 / -2    

y'' = -10 / -2

y' = -1    

y'' = 5

Como y = cos x

Então temos que:

cos x = y' = -1

cos x = -1

x = 180° = π

cos x = y'' = 5

cos x = 5 <- Não há solução real para isso, visto que cos x varia entre -1 e 1

Sendo assim a solução é

S = {x e R / π + 2kπ} (Alternativa a)

O +2kπ existe por que se você der uma volta completa no círculo (2π) ele sempre vai parar no mesmo lugar, desde que seja uma volta completa