Respostas
a) 2√3 cm
b) √21 cm
c) 5 cm
d) 12(√21 + 2√3) cm²
Explicação passo-a-passo:
Primeiro, observe que esse sólido é uma pirâmide hexagonal regular (como diz a questão). O que significa que a base é um hexágono regular e todos os seus lados e ângulos internos são congruentes, só pelo fato de ser regular.
Os lados da base, isto é, os lados do hexágono plano e também a base das faces laterais é igual a 4 cm.
A altura (h) da pirâmide = 3 cm
O apótema da base é o segmento que vai do centro do hexágono plano até o ponto médio de sua base.
O apótema da pirâmide é o segmento que vai do vértice V da pirâmide até o ponto médio do lado do hexágono que também é a base do triângulo lateral (o apótema da pirâmide é a altura do triângulo lateral).
A aresta lateral é o segmento que vai do vértice V até um dos vértices do hexágono plano ( base da pirâmide ).
A área total da pirâmide é a soma da área da base (do hexágono) com as suas faces laterais que são os triângulos.
Vamos resolver:
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a) Como é um hexagono regular, podemos dividir em 6 triângulos equiláteros. Ou seja a base e os dois lados desse trângulo valem 4 cm.
Como o apótema da base vai do centro até o ponto médio, significa que é a altura do triângulo na base.
Altura de triângulo equilátero = h = l√3 /2
h = 4√3 / 2 → h = 2√3 cm
O apótema da base vale 2√3 cm
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b) Para calcularmos o apótema da pirâmide, precisamos calcular a aresta da pirâmide por pitágoras e depois calcular por pitágoras a altura do triângulo lateral (de uma face) que o apótema da pirâmide.
A² = 4² + 3² → A² = 25 → A = √25
A = 5 cm
Como a resta da pirâmide é o lado da face lateral, já temos o lado do triângulo. Como o apótema da pirâmide vai do vértice até o ponto médio da base do triângulo, o divide em 2 iguais e portanto será a base do triângulo sobre dois.
A² = h² + (b/2)² → 5² = h² + (4/2)²
h² = 5² - 2² → h² = 21 → h = √21 cm
h = apótema da pirâmide
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c) A aresta lateral já calculamos para poder achar o valor do apótema da pirâmide e vale:
A = 5 cm
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d) A área total da pirâmide é a soma da área da base mais a soma da área das faces laterais. Só que as faces laterais são 6 triângulos isóceles e a base também podemos dividir em 6 triângulos só que equiláteros.
At = Afaces + Abase
Afaces = 6(A.t.isóc)
Abase = 6 (A.t.equil)
Área de um triângulo isóceles = b×h/2
Área de um triângulo equilátero = l²√3/4
At = 6(b×h/2) + 6(l²√3/4)
At = 6(4×√21/2) + 6(4²√3/4)
At = 6(2√21) + 6(4√3)
At = (12√21) + 24√3