Question

Resolver a equação x³ - 8 x² +29x -52=0, sabendo que uma das raízes é 4. Seja p(x) o polinômio dado e 4, r₂ e r₃ suas raízes. Usar o teorema da decomposição. E depois Briot -Ruffini.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Seja p(x) o seguinte polinômio:

$p(x) = x^3 - 8x^2 + 29x - 52$

Como 4 é raiz de p(x), então p(x) é divisível por x - 4. Usando Briot -Ruffini:  

4     1     - 8      29     - 52

      1     - 4       13        0

Então, quociente da divisão de p(x) por x - 4 é:

$q(x) = x^2 - 4x + 13$

O resto r(x) é 0.

Assim, como p(x) = q(x) . (x - 4) + 0 = q(x) . (x - 4)

Então p(x) = 0 implica em:

$(x^2 - 4x + 13) \cdot (x - 4) = 0$

Essa equação zera quando pelo menos um dos fatores é zero. Então:

$x^2 - 4x + 13 = 0\\\\\\\bigtriangleup = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = - 36\\\\\\x = \frac{- (-4) \pm \sqrt{- 36} }{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = \frac{2 \cdot (2 +\pm 3i)}{2} = 2 \pm 3i$

Assim, as raízes da equação são:

$r_1 = 4\\r_2 = 2 + 3i\\r_3 = 2 - 3i$