Question

Seja f : R → R, definida por f(x) =| x | −1:
(a) Mostre que f( [2, 3] ) = [1, 2]
(b) Verifique que f−1( ]0, 1[ ) = ] − 2, −1[ ∪ ]1, 2[.

Answer 1

f(x) = | x | - 1

a)

f-1( [2, 3] ) = [1, 2]

Basicamente ele tá falando que quando o x variar de 2 a 3, f-1(x) vai variar de 1 a 2

Vamos verificar se é verdade

y = | x | - 1

y + 1 = | x |

Como é uma função módulo temos duas possibilidades

y + 1 = x

-y - 1 = x

Invertendo y e x

x + 1 = y (equação 1)

-x - 1 = y (equação 2)

Então teremos "duas" funções inversas, vamos checar para o conjunto apresentado [2, 3]

equação 1:

y = 2 + 1 = 3

y = 3 + 1 = 4

equação 2:

y = -2 - 1 = -3

y = -3 - 1 = -4

Então f-1([2, 3]) = [-4, -3] U [3, 4]

Sendo assim não é verdadeiro

b)

Agora ele diz o seguinte

f-1( ]0, 1[ ) = ]-2, -1[ U ]1, 2[

A função inversa de f, no intervalo 0 a 1 (ABERTO), ou seja, os limites não entram, é igual a o conjunto solução mostrado

Vejamos então:

y = | x | - 1

y + 1 = | x |

Como temos o módulo geramos duas funções

y +  1 = x

-y - 1 = x

Agora basta trocar y e x

x + 1 = y (equação 1)

-x - 1 = y (equação 2)

Vamos ver se os conjuntos soluções são verdadeiros

equação 1:

f(x) = x + 1

f-1(0) = 0 + 1 = 1

f-1(1) = 1 + 1 = 2

equação 2:

f-1(0) = -0 - 1 = -1

f-1(1) = -1 - 1 = -2

Então sim, o conjunto imagem da função inversa para o intervalo ]0, 1[ é ]-2, -1[ U ]1, 2[