Question

1) Qual é o centro e o raio da circunferência de equação (x-1)² + (y+4)² = 9 *

2) Dê a equação da circunferência em que A(-2,-1) e B(0,3) são extremidades de um diâmetro. *

3) O ponto P (-2, 1) pertence, é interno ou externo a circunferência de equação x² + y² + 8x + 4y –16= 0 *

Answer 1

Dadas as coordenadas do centro de uma circunferência (a,b) e seu raio r sabemos que sua equação pode ser escrita da seguinte forma:

(x-a)² + (y-b)² = r²

1) Se a equação da sua circunferência é (x-1)² + (y+4)² = 9

O centro é (1, -4)

Raio: 3

2) O centro da circunferência está exatamente no ponto médio do diâmetro. Calculando o ponto médio de A (-2,-1) e B (0,3).

$C = \left( \dfrac{-2+0}2 , \dfrac{-1+3}2 \right) = (-1,1)$

O centro é (-1,1). O raio é a distancia do centro ate uma das extremidades A ou B.

$D = \sqrt{(-1-(-2))^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt5$

O raio é √5.

3) Primeiro precisamos encontrar a equação da circunferência, completamos quadrados para fazê-lo.

x² + y² + 8x + 4y –16= 0 → x² + 8x + 16 + y² + 4y + 4 - 16 = 16 + 4

Assim temos que: (x-4)² + (y-2)² = 36 → (x-4)² + (y-2)² = 6²

Para descobrir a posição do ponto, temos que analisar se a distância do centro da circunferência até ele é maior, menor ou igual ao raio.

$D = \sqrt{(-2-4)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{36+1} = \sqrt{37} \approx 6,08$

A distância é maior que o raio, logo o ponto é externo a circunferência.

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