Question

Qual é o resultado obtido pela integral definida abaixo: foto anexada abaixo favor adicionar resolução completa A) -81/10 B) 81/20 C) 80/10 D) 81/10 Grato

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{2} x.(1 + x {}^{3}) dx$

A primeira coisa que vamos fazer é abrir aquele produto, ou seja, aplicar a distributividade. Fazendo isso, vamos obter:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{2}( x.1 + x {}^{3} .x) dx = \sf \int \limits_{ - 1}^{2}x + x {}^{4}dx$

Vamos abrir essa integral em duas, pois temos uma soma de duas funções:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{2} x + x {}^{4} dx = \sf \int \limits_{ - 1}^{2}xdx + \int \limits_{ - 1}^{2}x {}^{4} dx$

Agora teremos que integrar cada uma dessas funções, para isso temos o artifício chamado integral imediata (ksksk), dada por:

$\boxed{\sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando nas duas integrais:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{2}xdx + \int \limits_{ - 1}^{2}x {}^{4} dx = \int \limits_{ - 1}^{2} \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + \int \limits_{ - 1}^{2} \frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} = \\ \\ \sf \int \limits_{ - 1}^{2} \frac{x {}^{2} }{2} + \int \limits_{ - 1}^{2} \frac{x {}^{5} }{5} = \boxed{\sf\int \limits_{ - 1}^{2} \frac{x {}^{2} }{2} + \frac{x {}^{5} }{5} }$

Para finalizar, basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo, já que estamos com uma integral que possui limites, que são eles de -1 a 2. O teorema diz que:

$\sf \int \limits_{ a}^{b}f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \sf sendo \: que\: f(b) - f(b), \: pode \: ser \: representado \\ \sf como : \\ \sf f(b ) - f(a) = \sf \begin{array}{|} \sf b \\ \\ \sf a\end{array}$

• Com isso você pode perceber que basta substituir os limites da integral na função que se encontra dentro da mesma, ou seja, no nosso caso teremos que substituir primeiro o limite (2) na função x²/2 + x⁵/5 e subtrair da substituição do limite (-1) na mesma função, fazendo isso vamos obter que:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{2} \frac{x {}^{2} }{2} + \frac{x {}^{5} }{5} = \frac{x {}^{2} }{2} + \frac{x {}^{5} }{5} \sf \: \begin{array}{|} \sf 2 \\ \\ \sf - 1\end{array} \\ \\ \sf \frac{2 {}^{2} }{2} + \frac{2 {}^{5} }{5} - \left( \frac{( -1) {}^{2} }{2} + \frac{( - 1) {}^{5} }{5} \right) = \\ \\ \sf \frac{4}{2} + \frac{32}{5} - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \sf \frac{4.5 + 2.32}{2.5} - \left( \frac{1.5 - 2.1}{2.5} \right) = \\ \\ \sf \frac{20 + 64}{10} - \frac{5 - 2}{10} = \frac{84}{10} - \frac{3}{10} = \boxed{ \boxed{ \sf\frac{81}{10} }}$

Espero ter ajudado