Question

Obter uma equação da elipse de focos F1 (-1,0) e F2 (1,0), cujo eixo maior mede 4 unidades.

Answer 1

Resposta:

Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).

 

Elementos da Elipse:

F1 e F2 → são os focos

C → Centro da elipse

2c → distância focal

2a → medida do eixo maior

2b → medida do eixo menor

c/a → excentricidade

Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2

Equação da Elipse.

1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x.

Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:

2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.

Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será:

Exemplo 1. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.

Solução: temos que

2a = 12 → a =6

2b = 8 → b = 4

Assim,

 

Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.

Solução: temos que

Se F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.

2b = 8 → b = 4

Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos:

a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5

Assim, a equação reduzida da elipse será:

Answer 2

Utilizando os focos e a medida do eixo maior, obtemos a equação da elipse $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$

Qual a equação da elipse

Os focos dados na questão são pontos sobre o eixo de coordenadas x, portanto, o eixo maior da elipse se encontra sobre o eixo x do sistema de coordenadas. Esse modelo de elipse possui equação na forma:

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Onde a e b são as medidas dos semi eixos maior e menor, respectivamente. Numa elipse qualquer, temos a seguinte relação:

$a^2 = b^2 + c^2$

Onde c é a metade da distância entre os focos da elipse.

A distância entre os focos da elipse descrita na questão é 2 unidades, logo, c = 1. Temos também que, a medida do eixo maior é 4 unidades, portanto, a = 2. Dessa forma, podemos escrever que:

$2^2 = b^2 + 1^2 \Rightarrow b^2 = 3$

A equação da elipse é:

$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$

Para mais informações sobre elipses, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/38395104

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