Question

Na PA (2,5,8..., X) determine o valor de x para que a soma seja
77​

Answer 1

Sabemos que a soma de uma PA é dada por:

$S_n = \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$

Para seu exercício, o primeiro termo é 2 e o ultimo é x. Observando a sequência sabemos que a razão é 3. Para utilizar a fórmula acima, precisamos escrever o último termo em função do primeiro e da razão.

A fórmula de um termo geral da uma PA é:

$a_n = a_1 + (n-1)r$

Usando os dados do exercício:

$a_n = 2 + (n-1)3\\a_n = 3n -1$

E colocando isso na fórmula de soma obtemos:

$77 = \dfrac{(2 + 3n-1)n}{2}\\\\77 = \dfrac{(3n+1)n}{2}\\\\154 = 3n^2 + n\\\\3n^2 + n- 154 = 0$

Usaremos Bhaskara para resolver:

$\Delta = 1-4.3.(-154)\\\\ \Delta = 1849\\\\ \sqrt{\Delta} = 43$

$n_1 = \dfrac{-1+43}{2.3} = \dfrac{42}{6} = 7\\\\\\n_2 = \dfrac{-1-43}{2.3} = -\dfrac{44}{6} = 7,33\cdots$

Sabemos então que, como n deve ser um número natural, n = 7. Então a PA tem 7 termos, logo x é o sétimo termo:

$a_7 = 2 + (7-1)3\\\\a_7 = 2+18\\a_7 = 20$

Então o valor de x = 20.

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