Question

02)Um banco tem 8 lugares e nele 3 casais e duas amigas irão sentar. Para não causar problemas, os casais sentarão sempre juntos. De quantas maneiras diferentes podem fazê-lo?

Answer 1

   Análise combinatória depende de um viés para cada questão, de modo a facilitar sua compreensão e desenvolvimento matemático.

   Vamos, primeiramente, nomear as pessoas: os homens serão representados por H e as mulheres por M e serão diferenciados por subscritos; de modo que as mulheres solteiras serão M e M':

H₁ / M₁ / H₂ / M₂ / H₃ / M₃ / M / M'   → pessoas sentadas randomicamente

   Para solucionarmos este problema, vamos considerar os casais - em vez de duas pessoas - como sendo uma única pessoa que ocupa dois lugares no banco. Dessa forma, serão representados por C e o banco configurar-se-á da seguinte maneira.

C₁ / C₂ / C₃ / M / M'  → Pessoas sentadas (casais inseparáveis uahsu)

   Agora, devemos permutar 5 objetos: permutação simples.

$P_{5}=5!$  ∴  $P_{5}=120\:possibilidades.$

   Agora devemos permutar somente os casais, de modo que o homem possa se sentar no lugar da mulher e a mulher no lugar do homem. Exemplo:

H₁ / M₁  ⇒  M₁ / H₁  →  Troca das posições entre casais

   A permutação dos casais também é uma permutação simples, contudo de 2 elementos apenas. Daí, faremos a multiplicação das possibilidade por 2!.

$T_{1}=P_{5}\cdot 2!=120\cdot 2=240\:possibilidades.$

   Vamos permutar o segundo casal, agora:

$T_{2}=(P_{5}\cdot 2!)\cdot 2! = 480\:possibilidades.$

   Por fim, o terceiro casal:

$T_{3}=[(P_{5}\cdot 2!)\cdot 2!]\cdot 2!=960\:possibilidades.$

Obs.:

   A permutação interna realizada nos casais é de fundamental importância, pois uma pessoa é diferente da outra. Isso faz com que o fato da mulher sentar à direita ou à esquerda torne-se imprescindível para a combinatória da questão.

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