• Matéria: Matemática
  • Autor: Anônimo
  • Perguntado 6 anos atrás

Me ajuda com esse limite aqui

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt[4]{x}-1 }

Respostas

respondido por: Nefertitii
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Temos o seguinte limite:

 \boxed{ \sf\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt[4]{x}-1 } }

A primeira coisa que devemos fazer, é substituir o valor a qual o "x" tende no local do mesmo:

 \sf  \frac{ \sqrt[3]{x} - 1 }{ \sqrt[4]{x}  - 1}  =   \frac{ \sqrt[3]{1} - 1 }{ \sqrt[3]{1} - 1 }  =  \frac{1 - 1}{1 - 1}  = \boxed{  \sf \frac{0}{0} } \\

  • Note que surgiu uma indeterminação do tipo 0/0, portanto teremos que fazer uma manipulação algébrica de forma que faça com que essa indeterminação suma.

Vamos colocar essas raízes em um mesmo índice:

 \sf  \frac{  \sqrt[3]{x} - 1  }{ \sqrt[4]{x}  - 1}  \\

  • Devemos tirar o MMC dos índices:

 \sf \begin{array}{c|l} \sf3,4 & \sf 2 \\ \sf3,2& \sf2 \\  \sf3,1& \sf 3 \\  \sf1 ,1   \end{array} \rightarrow2 {}^{2} .3 = 12

Substitua esse MMC no local do índice das raízes:

 \sf  \frac{ \sqrt[12]{x {}^{4} }  - 1}{ \sqrt[12]{x {}^{3} }  - 1}  =  \frac{ ( \sqrt[12]{x}) {}^{4}  - 1 {}^{4}  }{( \sqrt[12]{x} ) {}^{3}  - 1 {}^{3} }  \\

Note que surgiram dois produtos notáveis, portanto vamos relembrar a fatoração dos mesmos.

 \\\sf x {}^{4}  - y {}^{4}  = (x {}^{2}  + y {}^{2} ).(x {}^{2}  - y {}^{2} ) = (x {}^{2}  + y {}^{2} ).(x + y).(x  - y) \\  \sf x {}^{3}  - y {}^{3}  = (x - y).(x {}^{2}  + x.y + y {}^{2} )

Usando essas relações:

 \\\sf  \frac{( \sqrt[12]{x} ) {}^{4}  - 1 {}^{4} }{( \sqrt[12]{x} ) {}^{3}  - 1 {}^{3} }  =  \frac{[(\sqrt[12]{x} ) {}^{2}  + 1).( \sqrt[12]{x} + 1).( \sqrt[12]{x}   -  1) ] }{( \sqrt[12]{x} - 1).[(  \sqrt[12]{x}  ) {}^{2}  +   \sqrt[12]{x}.1 +( 1) {}^{2}   ] } =  \\   \\  \sf  \frac{ (\sqrt[12]{x {}^{2} }  + 1).( \sqrt[12]{x}  + 1). \cancel{( \sqrt[12]{x}  - 1)}}{  \cancel{( \sqrt[12]{x} - 1)}.( \sqrt[12]{x {}^{2}  }  +  \sqrt[12]{x}  + 1) }  =  \boxed{   \sf\frac{( \sqrt[12]{x}  + 1).( \sqrt[12]{x} + 1) }{ \sqrt[12]{x {}^{2} }  +  \sqrt[12]{x} + 1 }} \sf

Pronto, agora de fato sumimos com a indeterminação, portanto é só substituir o valor a qual o "x" tende e encontrar o valor do limite.

 \sf\frac{( \sqrt[12]{x}  + 1).( \sqrt[12]{x} + 1) }{ \sqrt[12]{x {}^{2} }  +  \sqrt[12]{x} + 1 } =  \frac{( \sqrt[12]{1}  + 1).( \sqrt[12]{1} + 1) }{ \sqrt[12]{1} +  \sqrt[12]{1} + 1  }  =  \\  \\  \sf  \frac{(1 + 1).(1 + 1)}{1 + 1 + 1}  =  \frac{(2).(2)}{3} =    \boxed{\sf\frac{4}{3}  } \\

Portanto:

\boxed{ \sf\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} -1}{\sqrt[4]{x}-1 } =  \frac{4}{3}  }

Vamos fazer de uma outra maneira ainda mais rápida, que é pela Regra de L'hospital:

  • Essa regra nos diz que quando temos uma indeterminação, para fazer com que ela suma, devemos derivar a função do numerador e denominador

 \boxed{ \sf \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{f'(x)}{g'(x)} }

Derivando as funções:

  \sf\frac{ \underbrace{\sqrt[3]{x} -1}_{}^{f(x)} }{ \underbrace{\sqrt[4]{x}-1 }_{g(x)}} =  \frac{(x) {}^{ \frac{1}{3}}   - 1}{(x ) {}^{ \frac{1}{4}  } - 1 }   = \frac{ \frac{1}{3}(x ) {}^{ \frac{1}{3}  - 1} - 0 }{ \frac{1}{4} (x) {}^{ \frac{1}{4} - 1 }  - 0}   =  \\ \\  \sf  \frac{ \frac{1}{3}(x) {}^{ \frac{1.1 - 3.1}{3} }  }{ \frac{1}{4}(x) {}^{ \frac{1.1 - 4.1}{4} }  }  =  \frac{ \frac{1}{3} (x) {}^{  - \frac{2}{3} } }{ \frac{1}{4}(x)  {}^{ - \frac{3}{4} } }  =  \frac{ \frac{1}{3} . \frac{1}{x {}^{ \frac{2}{3} } } }{ \frac{1}{4}. \frac{1}{  {x} ^{ { \frac{3}{4} }} }  }  =   \frac{ \frac{1}{3x {}^{ \frac{2}{3} } } }{ \frac{1}{4x {}^{ \frac{3}{4} } } }  =  \\  \\  \sf  \frac{1}{3x {}^{ \frac{2}{3} } } . \frac{4x {}^{ \frac{3}{4} } }{1}  = \boxed{\sf \frac{4 \sqrt[4]{x {}^{3} } }{3 \sqrt[3]{x {}^{2} } } }

Agora é só substituir o valor a qual o "x" tende.

 \sf \frac{4 \sqrt[4]{x {}^{3} } }{3 \sqrt[3]{x {}^{2} } }  =   \frac{4 \sqrt[4]{1 {}^{3} } }{3 \sqrt[3]{1 {}^{2} } }  =  \frac{4 \sqrt[4]{1} }{3 \sqrt[3]{1} }  =  \frac{4.1}{3.1} =    \boxed{\sf\frac{4}{3}}  \\

O mesmo resultado.

Espero ter ajudado

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