Question

Boa noite, por gentileza:
Como fatorar X^4 -4x + 3 = 0 de modo que vire (x-1)^2 * (x^2+2x+3)?

Answer 1

Temos que:

$\ast \: \sf x {}^{4} - 4x + 3 = 0$

• A questão quer saber a fatoração dessa expressão. Confesso para você que eu sou péssimo em fatoração, mas vamos fazer pelo método infalível (Briot-Ruffini), primeiro vamos encontrar uma das raízes dessa expressão, para isso usaremos o Teorema das raízes racionais.

Usando esse teorema devemos encontrar os divisores de (An) e (Ao), mas aí você me pergunta: Quem são esses termos?, para sanar a sua dúvida destacarei na expressão:

$\sf \underbrace{\sf x {}^{4} }_{ \sf a_n} - 4x + \underbrace{3} _{ \sf a_0}= 0$

O Teorema diz que os divisores de (An) representado pela letra "q" e (Ao) representado pela letra "p", ao serem divididos, nascem as possíveis raízes dessa expressão, então vamos encontrar os divisores e realizar a divisão de um pelo outro.

$\sf D \underbrace{(3) }_{p}= - 1,1, - 3,3 \\ \sf D \underbrace{( 1) }_{q}= - 1,1 \\ \\ \sf \frac{p}{q} = \frac{ - 1}{ - 1} = 1 \\ \sf \frac{p}{q} = \frac{ - 1}{1} = - 1 \\ \sf \frac{p}{q} = \frac{ - 3}{ - 1} = 3 \\ \sf \frac{p}{q} = \frac{3}{ - 1} = - 3$

As possíveis raízes são:

$\sf Poss\acute{i}veis\:ra\acute{i}zes: - 1,1, -3 , 3$

Para saber se é raiz ou não, teremos que substituir no local de "x", caso o resultado for igual a "0" será sim uma raiz, ou seja, devemos testar as raízes na expressão.

$\sf x {}^{4} - 4x + 3 = 0 \\ \sf (1) {}^{4} - 4.1 + 3 = 0 \\ \sf 1 - 4 + 3 = 0 \\ \sf 4 - 4 = 0 \\ \sf 0 = 0$

Como o resultado foi igual a "0", o número (1) é raiz dessa expressão. Tendo encontrado uma das raízes, podemos usar Briot-ruffini e encontrar as outras:

$\sf x {}^{4} + 0x {}^{3} + 0x {}^{2} - 4x + 3 = 0\\ \begin{array}{c|l} 1&1&0&0& - 4&3 \\ \sf &1&1&1 & - 3&(0) \\ &x {}^{3} + &x {}^{2} & + x& - 3& \end{array} \\ \\ \boxed{\sf x {}^{ 3 } + x {}^{2} + x - 3 = 0}$

Uma raiz, é expressa dessa maneira:

$\sf (x - a)$

Onde o "a" representa a raiz. Como dividimos por "1" e esse número era a raiz da expressão, podemos escrevê-lo assim:

$\sf (x - 1)$

Para completar, você multiplica essa expressão pela qual obtemos:

$\sf (x - 1).(x {}^{3} + x {}^{2} + x - 3) = 0$

• (Se você aplicar a distributividade, obterá a expressão inicial).

Ainda podemos fatorar a expressão que possui x³, as possíveis raízes ainda continuam sendo (-1,1,-3 e 3), já que o valor de (Ao) e (An) se mantiveram, portanto vamos testar:

$\sf x {}^{3} + x {}^{2} + x - 3 \\ \sf (1) {}^{3} + (1 ){}^{2} + 1 - 3 \\ \sf 1 + 1 + 1 - 3 \\ \sf 3 - 3 \\ 0$

O número "1" é novamente raiz dessa expressão, então vamos aplicar Briot-Ruffini nela:

$\sf x {}^{3} + x {}^{2} + x - 3 = 0\\ \begin{array}{c|l} 1&1&1&1& - 3 \\ \sf &1&2&3 & (0)\\ &x {}^{ {}^{2} } + &2x & +3 \end{array} \\ \\ \boxed{\sf x {}^{ 2 } + 2x + 3 = 0}$

Do mesmo jeito que fizemos, vamos multiplicar esse valor obtido pela raiz:

$\sf (x - 1).(x {}^{2} + 2x + 3)$

Substituindo essa informação na expressão que criamos anteriormente:

$\sf (x - 1).(x {}^{3} + x {}^{2} + x - 3) \\ \sf (x - 1).(x - 1).(x {}^{2} + 2x + 3) \\ \boxed{ \sf (x - 1) {}^{2} .(x {}^{2} + 2x + 3)}$

Espero ter ajudado