Question

SEJA A TRANSFORMAÇÃO LINEAR:

Answer 1

a)

$T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$

considere a base de R³:

$\{(1,1,1);(1,1,0);(1,0,0) \}$

escrevemos um vetor genérico como combinação linear dessa base:

$(x,y,z)=a.(1,1,1)+b.(1,1,0)+c.(1,0,0)$

devemos encontrar a,b,c :

$(x,y,z)=(a+b+c,a+b,a)$

o sistema:

$x=a+b+c\\\\y=a+b\\\\z=a$

resolvendo

a=z, b=y-z e c=x-y

então:

$(x,y,z)=z.(1,1,1)+(y-z).(1,1,0)+(x-y).(1,0,0)$

agora buscamos a imagem

$T(x,y,z)=T(z.(1,1,1)+(y-z).(1,1,0)+(x-y).(1,0,0))$

usando propriedade de transformação linear:$T(x,y,z)=z.T(1,1,1)+(y-z).T(1,1,0)+(x-y).T(1,0,0))$

levando para imagem:

$T(x,y,z)=z.(1,2)+(y-z).(2,3)+(x-y).(3,4)$

mais contas

$T(x,y,z)=(z,2z)+(2.(y-z),3.(y-z))+(3.(x-y),4.(x-y))$

$T(x,y,z)=(z,2z)+(2y-2z,3y-3z)+(3x-3y,4x-4y)$

$T(x,y,z)=(z+2y-2z+3x-3y,2z+3y-3z+4x-4y)$

por fim

$T(x,y,z)=(3x-y-z,4x-y-z)$

b)

T(5,4,-9)=(3.5-4-(-9),4.5-4-(-9))=(20,25)

Answer 2

Resposta:

a)

considere a base de R³:

escrevemos um vetor genérico como combinação linear dessa base:

devemos encontrar a,b,c :

o sistema:

resolvendo

a=z, b=y-z e c=x-y

então:

agora buscamos a imagem

usando propriedade de transformação linear:

levando para imagem:

mais contas

por fim

b)

T(5,4,-9)=(3.5-4-(-9),4.5-4-(-9))=(20,25)