Question

Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva y=√(5-x) com x∈[3,5] em torno do eixo-x.

Answer 1

• A questão quer saber a área de uma superfície, ou seja, isso nos remete ao volume. Ela diz que uma curva de função y = √(5 - x) com x∈[3,5] rotaciona em torno do eixo "y".

• Para montar o gráfico, teremos fazer a substituição de valores que "x" pode assumir, na função "y" e assim descobrir um par ordenado e consequentemente traçar a sua curva. Os valores de "x" já estão preestabelecidos, pois a questão fala que x∈[3,5], ou seja, x assume valor de 3,4 e 5.

Substituindo os valores:

$\boxed{\boxed{\begin{array}{c|l|c} \sf x & \sf y = \sqrt{5 - x} & \sf y \\ \sf 3& \sf y = \sqrt{5 - 3} & \sf1,41 \\ \sf 4 & \sf y = \sqrt{5 - 4} & \sf 1 \\ \sf 5& \sf y = \sqrt{5 - 5} &0\end{array}}}$

• Com esses valores de "x" e "y", podemos montar o gráfico. (Desenho está anexado na resposta). Note que formou-se uma espécie de "triângulo", a questão diz que a figura formada deve ser rotacionada em relação ao eixo "x", fazendo isso obtemos uma espécie de "sino".

Para calcular o volume disso, devemos dividir essa figura em infinitos cilindros pequenos. A fórmula do volume de um cilindro é dada por:

$\ast \: \sf V = \pi . r^{2}. h$

Como trata-se de uma divisão por infinitos pequenos cilindros, ao somar o volume de cada um encontraremos o volume da figura, portanto a fórmula passa a ser:

$\boxed{ \sf V = \pi \: . \: \int \limits_{a} ^{b} [f(x)] {}^{2} dx}$

Substituindo os valores na fórmula:

$\sf V = \pi \: . \int \limits_{3}^{5} ( \sqrt{5 - x} ) {}^{2} dx \\ \\ \sf V = \pi. \int \limits_{3}^{5}5 - x \: dx \\ \sf \\ \sf V = \pi \: . \int \limits_{3}^{5}5.x {}^{0} dx - \int \limits_{3}^{5}x {}^{1} dx \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \int \limits_{3}^{5} \frac{5x {}^{ 0 + 1} }{0 + 1} - \int \limits_{3}^{5} \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \int \limits_{3}^{5}5x - \int \limits_{3}^{5} \frac{x {}^{2} }{2} \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \int \limits_{3}^{5}5x - \frac{x {}^{2} }{2} \\ \\ \sf V = \pi \: . \left(5.(5) - \frac{5 {}^{2} }{2} \right) - \left (5.(3) - \frac{3 {}^{2} }{2} \right) \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \left( 25 - \frac{25}{2} \right) - \left( 15 - \frac{9}{2} \right) \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \left( \frac{25.2 - 25.1}{2} \right) - \left ( \frac{15.2 - 1.9}{2} \right) \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \left( \frac{50 - 25}{2} \right) - \left( \frac{30 - 9}{2} \right) \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \left( \frac{25}{2} \right) - \left( \frac{21}{2} \right) \\ \\ \sf V = \pi \: . \: \frac{25 - 21}{2} \\ \\ \sf V = \frac{4\pi}{2} \\ \\ \boxed{\sf V = 2\pi\:\: unidades \:\:de\:\: volume }$

Qualquer erro, perdão.