Question

Encontre a área da região compreendida entre o gráfico e o eixo x no correspondente y = 3x² + 2x no intervalo [0,1]

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = 3x {}^{2} + 2x$

• Raízes:

Vamos encontrar as raízes para que possamos montar o gráfico:

$\sf 3x {}^{2} + 2x = 0 \\ \sf x.(3x + 2) = 0 \\ \\ \boxed{\sf x_1 = 0} \\ \sf x_2 \therefore 3x + 2 = 0 \\ \sf 3x + 2 = 0 \\ \sf 3x = - 2 \\ \boxed{ \sf x_2 = - \frac{ 2}{3} }$

• Gráfico:

Note que a questão nos diz que a região é compreendida entre a função f(x) e o eixo "x", ou seja, a região estará entre essas duas funções. Se você observar, surgiu uma pequena área entre f(x) e o eixo "x", portanto essa será a área que devemos calcular.

• Limitantes:

A questão nos fornece como limitantes o intervalo de [0,1], portanto esses serão os limites de nossa integral.

• Função:

Como temos apenas uma função, será ela que deverá ser usada para encontrar a área.

$\sf \int\limits_{0}^{1}(3x {}^{2} + 2x)dx$

• Integração:

Para integrar essa função, vamos usar a integral imediata:

$\ast \sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1}$

Aplicando:

$\sf \int\limits_{0}^{1} (3x {}^{2} + 2x)dx = \int\limits_{0}^{1} 3x \: dx + \int\limits_{0}^{1} 2x \: dx = \\ \sf \int\limits_{0}^{1} (3x {}^{2} + 2x)dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{3x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \int\limits_{0}^{1} \frac{2x {}^{1 + 1} }{1 + 1} = \\ \sf \int\limits_{0}^{1} (3x {}^{2} + 2x)dx = \boxed{ \sf \int\limits_{0}^{1} x {}^{3} + x {}^{2}}$

• Área

Para finalizar, basta você aplicar o teorema fundamental do cálculo.

• Esse teorema nos diz que:

$\sf \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \sf lembrando \: que : f(b) - f(a) = \bigg|_ {a}^{b \: }$

Aplicando:

$\sf \int\limits_{0}^{1} {x}^{3} + x {}^{2} = x {}^{3} + x {}^{2} \bigg |_{0}^{1} = \\ \sf \sf \left(1 {}^{3} + 1 {}^{2} \right) - (0 {}^{3} + 0 {}^{2} ) = \\ \sf (1 + 1) - (0 - 0) = \\ \sf (2) - (0) = \boxed{\sf2u.a}$