Question

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Y= 12- x² , y=x²-6​

Answer 1

• Raízes:

A primeira coisa que devemos fazer é encontrar as raízes dessas duas funções, pois elas serão necessárias para montar o gráfico.

• Para encontrar uma raiz, você deve lembrar que basta igualar a "0" cada uma delas e resolver normalmente.

→ Função f(x) = 12 - x²: ←

$\sf 12 - x {}^{2} = 0 \\ \sf - x {}^{2} = - 12.( - 1) \\ \sf x {}^{2} = 12 \\ \sf x = \pm \sqrt{12} \\ \sf x = \pm \sqrt{4.3} \\ \boxed{\sf x = \pm 2 \sqrt{3} }$

→ Função f(x) = x² - 6: ←

$\sf x {}^{2} - 6= 0 \\ \sf x {}^{2} = 6 \\ \boxed{\sf x = \pm \sqrt{6} }$

• Gráfico:

Tendo encontrado as raízes, você deve montar um gráfico em um só plano cartesiano e contemplando as 2 funções. Se você bem observar pelo gráfico, temos uma enorme área entre as funções, portanto será essa a região que a questão fala.

• Limitantes:

Devemos encontrar os pontos de intersecção das funções, pois esses pontos que dirão de onde até onde devemos integrar, para encontrar esses pontos, você deve igualar as duas funções.

$\sf f(x) = f(x) \\ \sf 12 - x {}^{2} = x {}^{2} - 6 \\ \sf x {}^{2} - 6 + x {}^{2} - 12 = 0 \\ \sf 2x {}^{2} - 18 = 0 \\ \sf 2x {}^{2} = 18 \\ \sf x {}^{2} = \frac{18}{2} \\ \sf x {}^{2} = 9 \\ \sf x = \sqrt{9} \\ \boxed{\sf x = \pm =3}$

Portanto nossa integral irá variar de -3 a 3.

• Função da área:

Para delimitar a função, você deve subtrair uma pela outra:

$\sf \int\limits_{ - 3}^{3}(12 - x {}^{2} - (x {}^{2} - 6))dx = \sf \int\limits_{ - 3}^{3} (12 - x {}^{2} - x {}^{2} + 6)dx = \\ \boxed{\sf\int\limits_{ - 3}^{3}( 18 - 2x {}^{2} )dx}$

Tendo encontrado a função, você deve integrá-la:

• Integração:

Para fazer essa integração, devemos usar uma das integrais imediatas:

$\boxed{ \sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando:

$\sf \int\limits_{ - 3}^{3}(18 - 2x {}^{2} )dx = \int\limits_{ - 3}^{3}18.x {}^{0} dx -\int\limits_{ - 3}^{3}2x {}^{2}dx = \\ \sf \int\limits_{ - 3}^{3} \frac{18 {x}^{0 + 1} }{0 + 1} - \int\limits_{ - 3}^{3} \frac{2x {}^{2 + 1} }{2 + 1 } = \boxed{ \sf\int\limits_{ - 3}^{3} 18x - \sf\frac{2x {}^{3} }{3} }$

• Área:

Para finalmente encontrar a área, você deve aplicar o teorema fundamental do cálculo.

$\sf \int\limits_{ - 3}^{3}18x - \frac{2x {}^{3} }{3} = 18x - \frac{2x {}^{3} }{3} \bigg|_ { - 3}^{3} = \\ \\ \sf \left( 18 .3 - \frac{2.(3) {}^{3} }{3} \right) - \left( 18.( - 3) - \frac{2.( - 3) {}^{3} }{3} \right) = \\ \\ \sf \left( 54 - \frac{2.27}{3} \right) - \sf \left( - 54 - \frac{ 2.( - 27) }{3} \right) = \\ \\ \sf \sf \left( 54 - 18 \right) - ( - 54 + 18) = \\ \\ \sf (36) - ( - 36) = 36 + 36 = \boxed{\sf 72u.a}$

Espero ter ajudado