Question

Encontre a área da região compreendida entre o gráfico e o eixo x no correspondente.
Y=x²+x no intervalo (1, 3)​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = x {}^{2} + x$

• Raízes:

Vamos encontrar as raízes para que possamos montar o gráfico:

$\sf x {}^{2} + x = 0 \\ \sf x.(x + 1) = 0 \\ \\ \boxed{\sf x_1 = 0} \\ \sf x_2 \therefore x + 1 = 0 \\ \sf x + 1= 0 \\ \boxed{ \sf x_2 = -1}$

• Gráfico:

Note que a questão nos diz que a região é compreendida entre a função f(x) e o eixo "x", ou seja, a região estará entre essas duas funções. Se você observar, surgiu uma pequena área entre f(x) e o eixo "x", portanto essa será a área que devemos calcular.

• Limitantes:

A questão nos fornece como limitantes o intervalo de [1,3], portanto esses serão os limites de nossa integral.

• Função:

Como temos apenas uma função, será ela que deverá ser usada para encontrar a área.

$\sf \int\limits_{1}^{3}(x {}^{2} + x)dx$

• Integração:

Para integrar essa função, vamos usar a integral imediata:

$\ast \sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1}$

Aplicando:

$\sf \int\limits_{1}^{3} (x {}^{2} + x)dx = \int\limits_{1}^{3} {x}^{2} \: dx + \int\limits_{1}^{3} x {}^{1} \: dx = \\ \sf \int\limits_{1}^{3} (x {}^{2} + x)dx = \int\limits_{1}^{3} \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \int\limits_{1}^{3} \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} = \\ \sf \int\limits_{1}^{3} (x {}^{2} + x)dx = \boxed{ \sf \int\limits_{1}^{3} \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{x {}^{2} }{2} }$

• Área

Para finalizar, basta você aplicar o teorema fundamental do cálculo.

• Esse teorema nos diz que:

$\sf \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \sf lembrando \: que : f(b) - f(a) = \bigg|_ {a}^{b \: }$

Aplicando:

$\sf \int\limits_{1}^{3} \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{x {}^{2} }{2} = \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{x {}^{2} }{2} \bigg |_{1}^{3} = \\ \left( \sf\frac{3 {}^{3} }{3} + \frac{3 {}^{2} }{2} \right) - \left( \sf\frac{1 {}^{3} }{3} + \frac{1 {}^{2} }{2} \right) = \\ \sf \left( \frac{27}{3} + \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) = \\ \sf \left( 9 + \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{1.2 + 3.1}{3.2} \right) = \\ \sf \left( \frac{9.2 + 1.9}{2} \right) - \left( \frac{2 + 3}{6} \right) = \\ \sf \left( \frac{18 + 9}{2} \right) - \left( \frac{5}{6} \right) = \sf \left( \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{5}{6} \right) = \\ = \sf \frac{27.6 - 2.5}{2.6} = \sf \frac{152}{12} = \boxed{ \sf\frac{38}{3} u.a}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Aqui o exercício pede a área da curva entre os limites 1 e 3 e abaixo pelo eixo x.

Está área pode ser calcula com auxílio da integral de Riemann.

$\displaystyle\mathsf{A=\int\limits_{1}^{3}(x^2+x)dx=\left[\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2\right]_{1}^{3}}$

$\mathsf{A=\dfrac{1}{3}\cdot3^3+\dfrac{1}{2}\cdot3^2-\left[\dfrac{1}{3}\cdot1^3+\dfrac{1}{2}\cdot1^2\right]}\\\mathsf{A=\dfrac{27}{3}+\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}}\\\mathsf{mmc(3,2)=6}\\\mathsf{A=\dfrac{54+27-2-3}{6}=\dfrac{76\div2}{6\div2}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{A=\dfrac{38}{3}~u\cdot a}} }}}$