Question

sabendo que y = f (x) é uma função derivavel definida implicitamente pela equação x² y² + y² +sen (y) = 0, determinar y¹​

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\sf x {}^{2} y {}^{2} + xsen(y) = 0$

A questão pergunta qual é a derivada implícita dessa expressão, portanto vamos calcular implicitamente a sua derivada.

$\sf (x {}^{2} .y {}^{2} ) + (x.sen(y)) = 0$

Observe que temos alguns produtos nessa expressão, portanto vamos usar uma das regras de derivação, que é do produto, que diz:

$\boxed{( \sf f\: . \: g )'= f'\: . \: g+ f. \: g'}$

Aplicando:

$\sf (x {}^{2} )'.y {}^{2} + x {}^{2} .(y {}^{2} )' + (x)'.sen(y) +x.(sen(y))' = 0$

Lembre-se que na derivada implícita, quando você deriva alguma função "y", você deve multiplicar pela derivada de y.

• Ex: 2y² → D(2y²) = 4y.y'

Aplicando:

$\sf 2x.y {}^{2} + x {}^{2} .2y.y' + 1.sen(y) + x.cos(y).y' = 0 \\ \sf x {}^{2} .2y.y' + x.cos(y).y' + 2xy {}^{2} + sen(y) = 0 \\ \sf y'.(2x {}^{2} y + x.cos(y)) + 2x y{}^{2} + sen(y) = 0 \\ \sf y'.(2x {}^{2}y + x.cos(y)) = - 2x y {}^{2} - sen(y) \\ \sf y' = \frac{ - 2x y {}^{2} - sen(y) }{2x {}^{2}y + xcos(y) } \\ \boxed{\sf y' = ( - 1).\frac{2xy {}^{2} + sen(y) }{2 {x}^{2}y + xcos(y) } }$

Espero ter ajudado