Question

calcular as integrais definidas :


11. Z 1

−1


x

−3 + 3x

2 + 2x +

x

3

3


dx

Answer 1

Temos a seguinte Integral definida:

$\sf\int \limits\limits_{ - 1}^{1}(x {}^{ - 3} + 3x {}^{2} + 2x + \frac{x {}^{3} }{3}) dx$

A primeira coisa que vamos fazer, é em cada soma abrir uma nova Integral, pois como temos funções sendo somadas, podemos colocar cada função com uma Integral.

$\sf \int \limits_{ - 1}^{1}x {}^{ - 3} dx + \int \limits_{ - 1}^{1}3x {}^{2}dx + \int \limits_{ - 1}^{1}2xdx + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{x {}^{3} }{ 3}dx$

Para resolver essa integral definida, teremos que integrar a função de cada integral, para fazer isso vamos usar uma das integrais imediatas.

$\boxed{\sf \int u {}^{n} du = \frac{u {}^{n + 1} }{n + 1} }$

Aplicando:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{1}x {}^{ - 3}dx + \int \limits_{ - 1}^{1}3x {}^{2} dx + \int \limits_{ - 1}^{1}2xdx + \int \limits_{ - 1}^{1} x {}^{3} . \frac{1}{3} = \\ \\ \sf\int \limits_{ - 1}^{1} \frac{x {}^{ - 3 + 1} }{ - 3 + 1} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{3x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{2x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} . \frac{1}{3} = \\ \\ \sf \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{x {}^{ - 2} }{ - 2} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{3x {}^{3} }{3} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{2x {}^{2} }{2} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{x {}^{4} }{4} . \frac{1}{3} = \\ \\ \sf \int \limits_{ - 1}^{1} - \frac{x {}^{ - 2} }{2} + \int \limits_{ - 1}^{1}x {}^{3} + \int \limits_{ - 1}^{1}x {}^{2} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{x {}^{4} }{12} = \\ \\ \sf \int \limits_{ - 1}^{1} - \frac{1}{2x {}^{2} } + \int \limits_{ - 1}^{1}x {}^{3} + \int \limits_{ - 1}^{1}x {}^{2} + \int \limits_{ - 1}^{1} \frac{x {}^{4} }{12}$

Tendo integrado as funções, podemos retornar todas para uma só integral:

$\boxed{ \sf \int \limits_{ - 1}^{1} - \frac{1}{2x {}^{2} } + x {}^{3} + x {}^{2} + \frac{ {x}^{4} }{12} }$

Para finalizar, você deve aplicar o Teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\sf \int \limits_{ a}^{b}f(x)dx = f(b) - f(a) \\ \sf lembrando \: que : f(b) - f(a) = \bigg|_{a}^{b}$

Aplicando:

$\sf \int \limits_{ - 1}^{1} - \frac{1}{2x {}^{2} } + x {}^{3} + x {}^{2} + \frac{ {x}^{4} }{12} = \frac{1}{2x {}^{2} } + x {}^{3} + x {}^{2} + \frac{ {x}^{4} }{12}\bigg|_{a}^{b} = \\ \\ \sf \left( - \frac{1}{2.1 {}^{2} } + 1 {}^{3} + {1}^{2} + \frac{1 {}^{4} }{12} \right) - \left( - \frac{1}{2.( - 1) {}^{2} } + ( - 1) {}^{3} + ( - 1) {}^{2} + \frac{( - 1) {}^{4} }{12} \right) = \\ \\ \sf \left( - \frac{1}{2} + 1 + 1 + \frac{1}{12} \right) - \left( - \frac{1}{2} - 1 + 1 + \frac{1}{12} \right) = \\ \\ \sf \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + 2 \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{12} \right) =\\ \\ \sf \left( \cancel{- \frac{1}{2} }+ \cancel{\frac{1}{12}} + 2 + \cancel\frac{1}{2} - \cancel{ \frac{1}{12} }\right) = \boxed{\large2}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

Esta integral é resolvida de forma simples, porém, com algumas contas. Vamos lembrar algumas coisas.

∫∫f(a)dydx implica integrar primeiro em y e depois em x.

Podemos integrar em x e depois em y também, o resultado será o mesmo.

Usamos o teorema de Fubini para resolver. Segue abaixo um anexo da resolução.

espero ter ajudado