Question

Determine o valor de lim h → 0 ( a h + b )^2 − b^2/ h, sendo a=3 e b=9. limite(3x+9)^2−9^2/h

Answer 1

• Temos o seguinte limite:

$\sf\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(ah + b) {}^{2} - b {}^{2} }{h}$

• A questão nos informa que "a" é igual a 3 e "b" é igual a 9:

$\sf\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(ah + b) {}^{2} - b {}^{2} }{h} \\ \\ \sf \sf\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(3h + 9) {}^{2} - 9 {}^{2} }{h}\\ \\ \sf \sf\lim_{h\rightarrow 0} \frac{(3h + 9) {}^{2} - 81}{h}$

• Tendo feito essa substituição, chegamos a um limite numérico, portanto vamos substituir o valor a qual o "h" tende no local do mesmo.

$\sf \frac{(3h + 9) {}^{2} - 81 }{h} \\ \sf \frac{(3.0 + 9) {}^{2} - 81 }{0} \\ \sf \frac{(0 + 9) {}^{2} - 81 }{0} \\ \sf \frac{81 - 81 }{0} \\ \sf \frac{0}{0}$

• Veja que surgiu uma indeterminação do tipo (0/0), portanto teremos que fazer uma manipulação algébrica de forma que a mesma suma.

Vamos começar pela expansão do produto notável (3h + 9)²:

$\sf \frac{(3h + 9) {}^{2} - 81 }{h} \\ \sf \frac{(3h + 9).(3h + 9) - 81}{h} \\ \sf \frac{3h.3h + 3h.9 + 3h.9 + 9.9 - 81}{h} \\ \sf \frac{9h {}^{2} + 54h + 81 - 81}{h} \\ \sf \frac{9h {}^{2} + 54h}{h} \\ \sf \frac{ \cancel{h}.(9h + 54)}{ \cancel{h}} \\ \sf (9h + 54)$

• Agora certamente sumimos com a indeterminação, portanto para encontrar o valor do limite, basta substituir do valor a qual ele tende.

$\sf (9h + 54) \longrightarrow(9.0 + 54) \longrightarrow(0 + 54) \longrightarrow \boxed{ \sf54} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado