Question

Dada a P.A. (1, 7, ..., ), sabendo que a soma dos termos desta P.A. resulta em 280, determine seu último termo .

Answer 1

resolução!

■ Progressão aritmética

r = a2 - a1

r = 7 - 1

r = 6

an = a1 + ( n - 1 ) r

an = 1 + ( n - 1 ) 6

an = 1 + 6n - 6

an = 6n - 5

===============================================

Sn = ( a1 + an ) n / 2

280 = ( 1 + 6n - 5 ) n / 2

560 = ( 6n - 4 ) n

560 = 6n^2 - 4n

6n^2 - 4n - 560 = 0 ÷ 2

3n^2 - 2n - 280 = 0

Delta = (-2)^2 - 4 * 3 * (-280)

Delta = 4 + 3360

Delta = 3364

Delta = \/ 3364

Delta = 58

n ' = 2 + 58/6

n ' = 60/6

n ' = 10

n " = 2 - 58/6

n " = - 56/6

n " = - 28/3

================================================

an = a1 + ( n - 1 ) r

an = 1 + ( 10 - 1 ) 6

an = 1 + 9 * 6

an = 1 + 54

an = 55

espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a_n=a_{10}=55}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos conhecer algumas fórmulas

Numa sequência de progressão aritmética $(a_1,~a_2,~\cdots~, a_n)$, a soma dos termos é dada pela fórmula

$S_n=\dfrac{n\cdot(a_1+a_n)}{2}$

De forma que $n$ é o número de termos da sequência, $a_1$ é o primeiro termo e $a_n$ é o n-ésimo termo.

Logo, considerando a progressão $(1,~7,~\cdots)$, podemos substituir somente o primeiro termo, pois não sabemos quantos termos esta progressão tem ou qual é o seu último termo (que é o que buscamos).

Primeiro, devemos lembrar que o n-ésimo termo pode ser calculado a partir da fórmula

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$, de tal forma que $r$ é a razão entre dois termos, calculada a partir da fórmula $r=a_{k+1}-a_k$

Assim sendo, temos que $r=7-1=6$ e o último termo seria

$a_n=1+(n-1)\cdot6$

Multiplique os valores entre parênteses pela constante

$a_n=1+6n-6$

Some os valores

$a_n=6n-5$

Agora substitua o valor na fórmula de soma

$S_n=\dfrac{n\cdot(1+6n-5)}{2}$

Substitua o valor da soma, que nos foi dado no enunciado

$280=\dfrac{n\cdot(1+6n-5)}{2}$

Então, some os valores dentro dos parênteses

$280=\dfrac{n\cdot(6n-4)}{2}$

Multiplique ambos os lados da equação por 2

$n\cdot(6n-4)=560$

Aplique a propriedade distributiva da multiplicação

$6n^2-4n=560$

Subtraia 560 de ambos os lados da equação

$6n^2-4n-560=0$

Resolva a equação quadrática utilizando a fórmula de Bháskara.

Seja a equação da forma $ax^2+bx+c=0$, a solução é dada por

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Então, substitua os valores que temos

$n=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot6\cdot(-560)}}{2\cdot6}$

Resolva as operações

$n=\dfrac{4\pm\sqrt{16+13440}}{12}$

Some os valores dentro da raiz

$n=\dfrac{4\pm\sqrt{13456}}{12}$

Simplifique a raiz quadrada

$n=\dfrac{4\pm116}{12}$

Encontre as raízes

$n_1=\dfrac{4+116}{12}=10~~~~~~n_2=\dfrac{4-116}{12}=\dfrac{-112}{12}=\dfrac{-28}{3}$

Como podemos ver, somente uma raiz de $n$ satisfaz a condição para uma progressão, que deve ser inteiro e positivo.

Usemos novamente a fórmula que encontramos: $a_n=6n-5$

Substitua o valor de $n$

$a_{10}=6\cdot10-5$

Multiplique os valores

$a_{10}=60-5$

Subtraia os valores

$a_{10}=55$

Este é o último termo da progressão aritmética.