Question

Uma partícula ,estando no ponto (x,y,z) , pode mover-se para o ponto (x+1,y,z) ou para o ponto (x,y+1,z)?
ou para o ponto (x,y,z+1).Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar partindo do ponto (0,0,0) ,chegar ao ponto (a,b,c),onde a>0,b>0,c>0

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Answer 1

Resposta:

$\frac{(a+ b+ c)!}{a! b! c! }$

Explicação passo-a-passo:

Em um sistema de coordenadas como o de uma malha quadriculada 4x4 , por exemplo, se queremos sair do quadrado que se encontra na primeira linha da primeira coluna e chegar ao quadrado da quarta linha e quarta coluna temos algumas possibilidades. Nesse caso simples devemos executar 3 movimentos para a direita e 3 movimento para baixo, não importando a ordem. Para resolver realizamos uma permutação dos movimentos com repetição, exemplo: Direita Baixo Direita Direita Baixo Baixo. Temos o seguinte numero de possibilidades: $\frac{(3+3)!}{3! 3!} = \frac{6!}{3! 3!} = 20$

No caso pedido analogamente, saímos dos ponto (0, 0, 0) e temos que executar a+b+c movimentos, sendo eles a para uma direção, b para outra direção e c para a última, chegando ao seguinte resultado:

$\frac{(a+b+c)!}{a! b! c!}$