Question

Uma equação da circunferência tem diâmetros cujos extremos são (5, 2)e (-1, 6):

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(x-2)^2+(y-4)^2=13}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a equação da circunferência de diâmetro com extremos nos pontos $(5, 2)$ e $(-1, 6)$, devemos relembrar algumas coisas

O centro está no ponto médio desse segmento, logo para calcularmos usaremos as fórmulas

$x_M=\dfrac{x_1+x_2}{2}$ e $y_M=\dfrac{y_1+y_2}{2}$

Substituindo os valores que temos, encontramos

$x_M = \dfrac{5+(-1)}{2}$ e $y_M = \dfrac{2+6}{2}$

Somando os valores e simplificando as frações, encontramos

$x_M=2$ e $y_M = 4$

Logo, o centro está na posição $(2, 4)$

Sabemos também que o raio equivale a metade do segmento que liga os dois extremos do diâmetro.

Para calcularmos o raio, devemos utilizar a fórmula

$d=\sqrt{(x-x_p)^2+(y-y_p)^2}$

Substituindo os valores que temos, encontramos

$d=\sqrt{(5-(-1))^2+(2-6)^2}$

Somando os valores entre parênteses e calculando as potências, temos

$d=\sqrt{(5+1)^2+(-4)^2}\\\\\\ d=\sqrt{6^2+(-4)^2}\\\\\\ d= \sqrt{36+16}\\\\\\ d = \sqrt{52}$

Simplifique a raiz

Fatorando o radicando, temos que $52=2^2\cdot13$, logo

$d=\sqrt{2^2\cdot 13}=2\cdot\sqrt{13}$

Sabendo que $R=\dfrac{d}{2}$, substituímos

$R=\dfrac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$

Agora, utilizamos a forma reduzida da equação da circunferência

$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2$, na qual $x_c$ e $y_c$ são as coordenadas do centro

Substituindo os valores que encontramos

$(x-2)^2+(y-4)^2=13$

Esta é a equação da circunferência.