Question

A distância do ponto P (a, 1) ao ponto A (0, 2) é igual a 3. Calcule o número a.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a=2\sqrt{2}~e~a=-2\sqrt{2}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Esta é uma questão de geometria analítica.

Para calcularmos o número $a$, devemos conhecer a fórmula da distância entre dois pontos:

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Substituindo os valores que temos, que são:

$\begin{cases}x_1=a\\x_2=0\\y_1=1\\y_2=2\\d=3\\\end{cases}\\\\\\ 3=\sqrt{(a-0)^2+(1-2)^2}$

Some os termos entre parênteses

$3=\sqrt{a^2+(-1)^2}$

Calcule a potência

$3=\sqrt{a^2+1}$

Eleve ambos os lados da equação ao quadrado, lembrando que $\sqrt{x^2}=|x|$

$3^2=\sqrt{a^2+1}^2\\\\\\9=|a^2+1|$

Isto significa que $a^2+1=\pm9$

Porém, sabemos que não existe raiz de número negativo no conjunto dos reais, logo descartamos a solução negativa

$a^2+1=9$

Subtraia 1 de ambos os lados

$a^2=9-1\\\\\\ a^2=8$

Retire a raiz quadrada de ambos os lados

$a=\pm\sqrt{8}$

Simplifique a raiz fatorando o radicando

Sabemos que $8 = 2^2\cdot2$, logo

$a=\pm2\sqrt{2}$.

Neste caso, o número $a$ pode assumir dois valores.