Verifique se a função f é contínua no ponto especificado.

Anexos:

Respostas

respondido por: Anônimo

Como resposta a estes itens sobre a continuidade das funções, temos:

c) A função é contínua no ponto especificado.

d) A função é descontínua no ponto especificado.

Explicação:

A definição de continuidade de funções diz que:

$f(x)$ é contínua em um dado intervalo $I$ de seu domínio ⇔

α ∈ $I$ ∧ $\lim_{x \to a} f(x)=f(a).$

Podemos falar isso de um modo mais palpável e inteligível. Definimos que uma função é contínua em um intervalo quando percorremos $f(x)$ nesse intervalo e não precisamos "tirar a caneta" de seu desenho (gráfico) em momento algum.

Sendo assim, vamos olhar para o gráfico da primeira função. (Primeira Imagem)

Primeiro passo, podemos escrever a primeira sentença de $f(x)$ de uma outra forma:

$f(x)=-\frac{(x^{2}-1)}{x-1}$ ⇔ $f(x)=-\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}$ ∴ $f(x)=-(x+1).$

Vamos agora obtermos seu gráfico. (Veja a imagem 1)

Observe que para o ponto referido (ponto A) não precisamos "tirar a caneta" de cima da linha, logo a função é contínua no ponto (1,-2). Vale lembrar que estamos analisando o ponto (1,-2), pois a segunda sentença da função diz que: para x = 1, faça y = -2; daí o ponto A = (1,-2).

Agora, a segunda função. Seu gráfico é dado da seguinte forma: (Veja a imagem 2)

Note que podemos escrever a primeira sentença de outra forma:

$\\=\frac{x^{3}+1}{x+1}=\frac{(x+1)(x^{2}-x+1)}{(x+1)}=(x^{2}-x+1).$

Equação de uma parábola.

Observe que agora precisamos "tirar a caneta" para percorrermos o ponto que pertence a função quando $x$ ← (- 1). Isso prova a descontinuidade da função nesse ponto (- 1, 1). Isso ocorre porque quando x = - 1, faremos y = 1 (pela sentença II).

No entanto, caso não houvesse a segunda sentença. Quando fizéssemos o x = -1, teríamos então o y = 3 e, por isso, a função seria contínua no ponto (-1, 3). Porém, não ocorre, logo a função é descontínua.

Outra forma de fazer:

Outra maneira é analisarmos a concordância entre as sentenças. Ou seja, vamos ver se a primeira "concorda" com a segunda no ponto dado:

c) Para x = 1.

$\\-(x+1)=-(1+1)=-2.\\$